I materiaux rigides parfaitement plastique et élastiques parfaitement plastiques
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 CHAPITRE I lois de comportement I Materiaux rigides parfaitement plastique et élastiques parfaitement plastiques I.1. Notion de seuil de plastification I.1.1 Courbe contrainte déformation Lors d'un essai de traction (Figure 1a) la plupart des matériaux présentent un domaine élastique caractérisé par une relation de proportionnalité entre la contrainte et la déformation. Si la contrainte est supprimée le matériau revient à sont état naturel non déformé.   Figure 1 a Déformation d'une éprouvette en traction simple : (A) état non contraint et non déformé ; (C) état déformé au delà de la limite d'élasticité. La déformation totale est la somme de la déformation plastique et de la déformation élastique ; (D) Etat non contraint, mais déformé. La déformation totale est égale à la déformation plastique. Figure 1 b : Courbe contrainte déformation correspondant à l'expérience montrée Figure 1a. ?=F/S. Sur la Figure 1b le point A correspond à l'état non déformé et non contraint ; le point B correspond à la limite d'élasticité. Tout chargement atteignant ce niveau de contrainte conduit à une déformation permanente ou déformation plastique. La contrainte est définie comme le rapport de la force sur la surface actuelle (?=F/S). La déformation totale peut être définie comme suit  . La déformation plastique est donnée par  . La déformation élastique correspond à la partie récupérée lors de la décharge (déformation à l'état C - déformation à l'état D).  . Ces définitions respectent la décomposition de la déformation en partie élastique (réversible) et partie plastique (irréversible). (1)Dans le cas général d'un chargement tridimensionnel, cette décomposition est généralement admise comme hypothèse. I.1.2 Valeur de la limite d'élasticité Le niveau de contrainte observé à la plastification des matériaux métallique ?y0=Re est de l'ordre de E/500 (E=210 GPa et Re=400MPa pour un acier déformé à température ambiante). I.1.3 L'expérience de von Karman Von Karman a déformé des blocs de marbre en compression simple et en compression noyés dans un fluide. Il a constaté que la courbe contrainte déformation n'est pas affectée par la pression du fluide. Sous chargement multiaxial, la contrainte de plastification est indépendante de la pression. I.2. Mécanisme de la déformation plastique Dans ce cours, nous ne rentrerons pas dans les détails de la physique de la déformation plastique. Généralement, une description purement phénoménologique est suffisante. Cependant, l'interprétation succincte des expériences précédentes, doit nous permettre d'énoncer toutes les règles particulières à respecter un modèle décrivant le comportement d'un matériau en déformation plastique. Si l'on déforme un monocristal parfait, le niveau de contrainte atteint E/10 (cours de dislocations). E est le module de Young du matériau. La limite d'élasticité réelle beaucoup plus faible dans la plupart des matériaux semble indiquer la présence de défauts dans ces matériaux. Dans un matériau métallique, on observe effectivement des demi plans atomique manquant (dislocations). Pour déformer le matériau suivant la ligne AA' il suffit de rompre quelques liaisons atomiques seulement (Figure 2) au voisinage de la dislocation. La partie supérieure glissera par rapport à la partie inférieure.    Figure 2 : Représentation schématique du mécanisme de déformation (a) d'un monocristal parfait, (b) et © d'un monocristal avec dislocation. L'expérience de von Karman semble confirmer de façon macroscopique que le matériau se déforme par glissement de plans atomique et que par conséquent la pression n'a pas d'influence sur la plastification du matériau. La variation de volume due à la déformation plastique est nulle. Lorsque l’on déforme un matériau et que la contrainte est supprimée, il subsiste des déformations résiduelles, mais le volume n’a pas changé. I.3. Critères de plastification de Tresca et de von Mises I.3.1. Critère de Tresca Tresca a postulé que la plastification apparaît si la contrainte de cisaillement maximale atteint une valeur limite. Démarche Nous nous basons sur les résultats de l’essai de traction simple pour fixer la valeur maximale admissible de la contrainte de cisaillement. La valeur maximale admissible de la contrainte de cisaillement est une caractéristique du matériau. Cette valeur ne dépend pas de l’état de contrainte. Pour fixer la valeur maximale admissible de la contrainte de cisaillement, nous nous basons sur les résultats obtenus en traction simple. Une fois cette valeur maximale admissible déterminée, nous appliquerons le critère de Tresca pour des chargements plus complexes. Traction uniaxiale : contrainte de cisaillement maximale admissible D'après les résultats de l'essai de traction uniaxiale, nous savons déjà que sous traction pure, la contrainte appliquée est plus petite ou égale à la limite d'élasticité Re. La contrainte de cisaillement maximale vaut la moitié de la contrainte appliquée. Donc, la contrainte de cisaillement ? maximale admissible vaut la moitié de la contrainte de traction simple.  (2)Critère de Tresca en chargement multiaxial Appliquons maintenant le critère de Tresca à des chargements biaxiaux (Figure 3a). Considérons un disque mince en chargement biaxial (?zz=?xy=?xz=?yz=0). Les contraintes ?xx et ?yy peuvent varier indépendamment. Nous voudrons connaître le domaine admissible pour ces contraintes. En chargement biaxial, la contrainte de cisaillement maximale est donnée par la différence entre la plus grande contrainte principale et la plus petite contrainte principale. En effet, les figures 3b et 3c rappellent la variation de la contrainte avec l’orientation de la facette par rapport aux directions principales. Donc pour ?yy =0, ?xx peut varier entre -Re et +Re. De même pour ?xx = 0, ?yy peut varier entre -Re et + Re. Dans le premier quadrant ?xx=Re, ?zz=0,0<?yy ?max = ?xx =Re, ?min=?zz=0,?max= ?xx /2=Re/2 donc ?xx=Re Le critère correspond à une ligne par ?xx=Re et le glissement se fait sur un plan incliné à 45° entre les plans x=constante et z=constante. Dans le premier quadrant ?yy=Re, ?zz=0,0<?xx ?max = ?yy =Re, ?min=?zz=0,?max= ?yy /2=Re/2 donc ?yy=Re Le critère correspond à une ligne par ?yy=Re et le glissement se fait sur un plan incliné à 45° entre les plans y = constante et z=constante. Dans le deuxième quadrant ?Re < ?xx < 0, ?zz=0, 0 <?yy ?max = ?yy =Re, ?min=?xx<0,?max= (?yy - ?xx )/2=Re/2 Le glissement se fait sur un plan incliné à 45° entre les plans x=constante et y=constante. Dans le troisième quadrant ?Re < ?xx < 0, ?zz=0,-Re<?yy<0, le critère donne : ?max = ?zz, ?min=?yy ou ?min=?xx,?max = ?xx /2=Re/2 ou ?max = ?yy/2 donc ?xx=Re ou ?yy = Re Le critère correspond à une ligne par ?xx = -Re et le glissement se fait sur un plan incliné à 45° entre les plans x=constante et z=constante et à une ligne par ?yy = -Re et le glissement se fait sur un plan incliné à 45° entre les plans y =constante et z =constante. Dans le quatrième quadrant ?????xx < Re, ?zz=0, -Re< ?yy <0, le critère donne : ?max = ?xx =Re, ?min=?yy<0,?max= (?xx - ?yy )/2=Re/2 donc ?xx - ?yy =Re Le glissement se fait sur un plan incliné à 45° entre les plans x=constante et y=constante.
Figure 3. (a) Disque en état de traction biaxiale. (b) Vecteur contrainte sur une facette inclinée d’un angle ??par rapport à la plus grande direction principale. (c) Varation du vecteur contrainte sur la facette d’orientation ? en fonction de ? (le cercle de Mohr). (c) Domaine admissible pour les contraintes en chargement biaxial d’après le critère de Tresca. I.3.2. Critère de von Mises
Figure 4. (a) Disque en état plan de contrainte. (b) Comparaison entre le critère de Tresca et le critère de von Mises. Von Mises a considéré l’ellipse circonscrit au critère de Tresca. La figure 4 représente le critère de von Mises pour un chargement plan. La contrainte de von Mises est donnée par :  Seules les contraintes ?xx et ?yy sont non nulles. Donc, le tenseur contrainte s’écrit ici  La contrainte moyenne vaut :  . Et le tenseur déviateur des contraintes est donné par  Ainsi la contrainte de von Mises s’écrit :  soit  En traction biaxiale, le critère de von Mises s’écrit donc  (3)La surface  est appelée frontière de plastification. En traction biaxiale, la frontière de plastification correspond à un ellipsoïde inclinée à 45° par rapport aux axes des contraintes principales. Le grand axe correspond à un état de bitraction (?xx=?yy=Re) ou de bicompression (?xx=?yy=-Re) Le grand axe de l’ellipsoïde de von Mises vaut  . Le petit axe correspond à un état de traction compression (?xx=-?yy=Re) ou (-?xx=?yy=Re). La longueur du petit axe vaut  . Le contrainte de von Mises est calculée à partir des composantes du tenseur déviateur des contraintes. La contrainte de von Mises est donc indépendante de la valeur de la pression. La figure 5 représente la contrainte de von Mises dans l’espace des contraintes principales pour un chargement triaxial. Dans l’espace des contraintes principales, la surface représente une cylindre à base circulaire d’axe parallèle à la trisectrice des axes (111).  Figure 5. Surface de von Mises dans l’espace des contraintes principales avec deux états de containtes satisfaisant .Sur la figure 5, deux états de contraintes  et  sont représentés. Les deux états de contraintes satisfont le critère de von Mises, i.e.  . La différence entre les deux états de contraintes est un état de contrainte purement hydrostatique. | ||||||||||||||
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