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Université Paris X- Master 2 GRFA 

Année 2009-2010

Cours : Mathématiques appliquées à la finance et à l’assurance

Professeur Catherine BRUNEAU

Chargé de TD : Selim MANKAI

TD 1

Probabilité : Une seule variable aléatoire
Exercice 1 (à faire seul(e)) : Soit , déterminez la densité de probabilité de sachant que suit une loi uniforme [0,1].

Exercice 2 (à faire seul(e)) : Soit une v.a qui suit une loi normale, montez que suit une loi normale.

Exercice 3 (à faire seul(e)): Soit une variable aléatoire de fonction de répartition. La médiane de est la valeur (m) pour laquelle =0.5, c'est-à-dire et).

Déterminer (m) lorsque suit :

i) Une loi uniforme continue sur l’intervalle [-1,10].

ii) Une loi exponentielle de paramètre λ=5.

iii) Une loi normale

Exercice 4 (à faire seul(e)): Soit l’équation (E) du second degré : .

Quelle est la probabilité que (E) ait deux solutions distinctes sachant que est une variable aléatoire qui suit :

i) une loi uniforme [0,1].

ii) une loi uniforme [-3,2].

Exercice 5 (à faire seul(e)): Soit une v.a continue avec une fonction de répartition inversible et strictement croissante telle que.

1- Vérifiez que est une variable aléatoire de loi uniforme sur (0,1).

2- On dispose d’un échantillon aléatoire de la v.aet on voudrait construire un échantillon aléatoire de.

i)- Décrire la démarche à suivre.

ii) Appliquez cette démarche lorsque suit :

-Une loi exponentielle.

-Une loi normale (vous pouvez utilisez soit la table de la loi normale centrée réduite soit la fonction loi.normale inverse(.) sur Excel.

Exercice 6 (à faire seul(e)): : Soit une variable aléatoire, où suit une loi normale d’espérance et de variance.

1- Quelle est la loi de ? Déterminer sa densité de probabilité.

2- i) Quelle est la principale caractéristique de cette loi?

ii) Donnez un exemple de grandeurs en finance et en assurance dont on pourrait décrire la distribution par les lois de .

3- Montrer que :



Exercice 7 : Soit une société d’assurance qui opère sur la ligne d’activité (incendie). En début de période elle est confrontée à l’incertitude relative à la charge globale des sinistres qui sera remboursé en intégralité en fin de période. La société d’assurance dispose en début de période de réserves de valeur de 4000 investie en totalité durant la période dans le taux sans risque (r=3%). On suppose que la charge globalesuit une loi lognormale :

LN qui correspond à l’exponentielle d’une v.a X qui suit une loi normale de paramètres. Par ailleurs, la société est insolvable si la valeur des réserves est inférieure à la charge de sinistres.

1/ Déterminez en début de période la probabilité de ruine (insolvabilité) de la société ?

2/ A partir de quel montant des réserves la probabilité de ruine devient inférieure ou égale à 1%.

3/ Quelle est la valeur maximale de l’écart type de X pour laquelle le niveau initial des réserves en fin de période limite la probabilité de ruine à 5%.

4/ Reprenez les questions 1,2 et 3 en simulant la distribution de (50000 réalisations).

Indication : la fonction quantile dans la distribution lognormale :

Avec, est la fonction inverse de la loi normale centrée réduite. sont les paramètres d’une loi normale ou .
Exercice 8 : On considère la classe des lois GEV (Generalized Extreme Value) dont la fonction de répartition est de la forme :, où est un paramètre caractéristique de la forme de la loi, un paramètre de position (seuil) et un paramètre d’échelle.

1/ Montrer que la loi de Gumbel dont la fonction de répartition est donnée par :

est un cas particulier de loi GEV obtenu pour .

Indication : on fera un développement limité de autour de

2/ On veut étudier graphiquement la qualité d’ajustement à une loi de Gumbel d’un échantillon de valeurs supposées rangées par ordre croissant. Que vaut désigne la fonction de répartition empirique ? Montrer que l’ajustement à une loi de Gumbel est bon si, dans le plan le nuage est « proche » d’une droite dont on donnera pente et valeur à l’origine.




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