D
Espaces affines
éfinitions et notations
Définition
Soit E un R-espace vectoriel.
Définition :
Un espace affine attaché à E est une couple  formé d’un ensemble  non vide et d’une loi externe + qui à un couple  de  associe un élément  de vérifiant les axiomes suivants :
Si est un espace affine attaché à E :
On dit que E est l’espace vectoriel directeur de ;
Les éléments de sont appelés des points, et ceux de E des vecteurs ;
Si E est de dimension finie n, on dit que est de dimension finie n.
Translation
Soit un espace affine attaché à E.
Pour chaque  , l’application de dans qui à M associe  est appelée la translation de vecteur u, nous la noterons  . Les axiomes (1), (2), (3) reviennent ainsi à dire que :
Vecteur défini par deux point
Soit un espace affine attaché à E.
Etant donnés deux points A et B de , l’unique vecteur tel que  est noté  . Les trois axiomes, joints à cette définition, donnent alors les résultats suivants :
C’est en effet la définition de , possible grâce à l’axiome (3).
En plus, l’axiome (1) donne, en particulier :  .
Relation de Chasles :  .
En effet, d’après l’axiome (2) :  .
 ; en effet,  .
Exemples et visualisation
On considère un R-ev E de dimension 2, une base  de E et un plan (ici le plan de la feuille) :
Exemple : Si E est un R-ev, alors E est naturellement un espace affine attaché à E, où la loi "+" externe est la même que la loi + interne. En effet :
Repères d’un espace affine de dimension finie
Dans ce paragraphe, désigne un espace affine attaché à E de dimension finie n.
Définitions
Définition :
Un repère de est un couple  formé d’un point O de et d’une base  de E.
Considérons un repère de , avec .
Le point O est appelé origine du repère, et les vecteurs  sont appelés les vecteurs de base du repère. Pour tout point M de , les composantes du vecteur  dans la base B sont appelées les coordonnées de M dans le repère R. Ainsi, les coordonnées  de M dans R son caractérisées par l’égalité :
 . Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur le repère R, on note  .
Remarque :
Si, dans le repère R,  et  , alors, dans la base B,  .
En effet, 
Les points étant repérés par leurs coordonnées, on peut aussi définir la notion d’équation dans un repère :
Si f est une fonction réelle définie sur une partie K de  , la partie de d’équation  dans R est par définition l’ensemble des points M de dont les coordonnées  dans R vérifient :
 et .
Changement de repère
Soient et  deux repères de , soit P la matrice de passage de B à B’, et soit B la colonne des coordonnées de O’ dans R. Alors si M est un point de , si X est la colonne des coordonnées de M dans R, et si  est la colonne des coordonnées de M dans R’, on a la relation :  .
Démonstration :
est la colonne des coordonnées de  dans R’, donc selon les formules de changement de base,  est la colonne des coordonnées du même vecteur dans R, et comme  , la colonne des coordonnées de dans R est donc .
Barycentres
Dans ce paragraphe, désigne un espace affine attaché à un espace vectoriel E.
Définition
Théorème et définition :
Soit  une famille de n points de , et soit  une famille de n réels de somme non nulle. Alors il existe un unique point G tel que  , il est appelé le barycentre des points pondérés  .
Démonstration :
Soit O un point quelconque de .
Alors, pour tout point M de , on a :
Comme  , il existe bien un unique point G comme voulu, il est défini par l’égalité : 
Remarque :
Il résulte de cette démonstration que si  , alors l’application qui à tout point M de associe  est constante.
Propriétés
D’abord, on remarque que la formule (1) établie précédemment, valable pour tout point O de , permet d’obtenir aisément, lorsque est de dimension finie, les coordonnées des  à l’aide des coordonnées des  dans un repère d’origine O.
Remarquons de plus que cette formule montre que le barycentre des est inchangé lorsqu’on modifie l’ordre des , et aussi lorsqu’on multiplie tous les  par un même coefficient non nul. On peut ainsi se ramener au cas où les sont de somme 1.
Proposition (« associativité » du barycentre) :
Soit une famille de n point pondérés de , avec .
Supposons que m est un entier tel que  et  .
On introduit alors le barycentre H des  .
Alors le barycentre G des est aussi celui de  et des  .
En effet :
 .
Sous-espaces affines
désigne toujours un espace affine attaché à un espace vectoriel E.
Généralités
Définition :
Soit F une partie de . On dit que F est un sous-espace affine de lorsque F est non vide et est stable par « barycentration », c'est-à-dire lorsque tout barycentre de points de F est encore un point de F.
Visualisation en dimension 2 :
Si on choisit un point de , tout barycentre de ce point est encore ce point. Donc F est réduit à un singleton.
Si on prend deux points A et B distincts, on doit avoir toute la droite qui passe par ces deux points. (et inversement, si un système de points est sur la droite, le barycentre y est alors aussi).
Ici :
 . Donc M est barycentre de  et  (ou  et  ) :
 , soit 
Avec trois points, on obtient une droite ou un plan (une droite si les vecteurs formés par les trois points sont liés deux à deux).
Proposition :
Soit F un sous-espace affine de .
Alors l’ensemble des vecteurs  , M et N décrivant F, est un sous-espace vectoriel de E, appelé la direction de F. On le note  .
Ainsi, on vérifie aisément que F est un espace affine attaché à . (Les 3 axiomes à vérifier sont des restrictions de ceux correspondant dans , et par construction,  )
Démonstration :
Notons  .
Alors déjà F contient le vecteur nul, car  , où A est un point quelconque de F, qui est non vide.
Soient  , et  . On introduit  tels que  et 
Soit  tel que  . Alors  .
Donc M est barycentre de  ,  et  , donc  , soit  .
Exemple en dimension 2 :
Théorème :
Soit F un sous-espace vectoriel de E, et soit A un point de . Alors il existe un et un seul sous-espace affine de contenant A et de direction F, c’est l’ensemble, qu’on note  , des points  , u décrivant F, on encore l’ensemble des points M de tels que  .
Démonstration :
Notons  . Montrons alors que F est un sous-espace affine de passant par A et de direction F.
Déjà, F contient A car  .
F est un sous-espace affine de , car si M est un barycentre de points  de F, alors  est combinaison linéaire des  , qui sont dans F. Donc , donc 
La direction de F est F : en effet, si M et N sont dans F, alors  , et  (donc  ), et inversement, pour  , est dans F donc est dans la direction de F, d’où l’égalité.
Supposons maintenant que F’ est un sous espace affine de contenant A et de direction F :
Déjà,  , puisque si  , alors , donc
Ensuite,  . En effet, si , alors , donc  , où  , et alors  , donc M est le barycentre de  ,  et  . Donc
D’où l’égalité, et donc l’unicité.
Remarque :
Si F est un sous-espace affine de , A un point de F, alors  .
En effet :
Selon le théorème, si on note  , alors  .
Si , alors  puisque  . Donc  avec
Si u s’écrit , où , alors  car  .
Vocabulaire :
Un sous-espace affine dont la direction est de dimension finie p est dit de dimension p.
Un sous-espace de dimension 1 est appelé une droite affine, et un sous-espace de dimension 2 est appelé un plan affine.
Un sous-espace affine de dimension 0 n’est rien d’autre qu’un singleton.
Parallélisme et inclusion entre deux sous-espaces affines
Proposition :
Soient F et G deux sous-espaces affines de , de directions respectives F et G.
Si  , alors  .
Inversement, si et  est non vide, alors .
En effet :
Soient F et G deux sous-espaces affines de , notons ,  .
Si , alors 
Si et est non vide : soit  .
Alors  .
Deux sous-espaces affines sont dits parallèles (au sens fort) lorsqu’ils ont la même direction, et plus généralement sont dits parallèles (au sens faible) lorsqu’il y a une inclusion entre leurs directions. On peut souvent se permettre de ne pas préciser : si par exemple on parle d’un plan et d’une droite parallèles, il s’agit bien évidemment de parallélisme au sens faible.
Il résulte de la proposition précédente que si deux sous-espaces affines sont parallèles au sens fort, alors ils sont soit disjoints soit égaux.
On remarque aussi que, en dimension finie, une inclusion entre deux sous-espaces affines de même dimension finie p implique leur égalité.
En effet, en introduisant les mêmes notations que dans la proposition :
Si , alors ; or,  , donc  .
Donc  , et  (car F est non vide et ), donc  .
Intersection entre deux sous-espaces affines
Proposition :
Soient F, G deux sous-espaces affines de , de directions respectives F et G. Alors est soit vide, soit un sous-espace affine de de direction  .
Démonstration :
Supposons .
Soit alors . Alors :
Donc 
On reconnaît le sous-espace affine de passant par A et de direction le sous-espace vectoriel de E.
Proposition (précision de certains cas par rapport à la proposition précédente) :
Soient F, G deux sous-espaces affines de , de directions respectives F et G.
Si  , alors est soit vide soit un singleton
Si  , alors n’est pas vide.
Si , alors est vide ou .
Démonstration :
Si n’est pas vide, alors c’est un sous-espace vectoriel de dimension la dimension de  , c'est-à-dire de dimension 0.
Supposons que .
Soient  . Alors  .
Soit  . Alors  .
Mais  .
Donc  .
C’est la proposition vue dans le sous paragraphe précédent.
Il résulte de cette proposition que si F et G sont deux sous-espaces affines de de directions supplémentaires, alors est un singleton.
Equations et paramétrages en dimension 2 ou 3.
En dimension 2
Ici, désigne un espace affine de dimension 2, qu’on munit d’un repère  (On peut ne pas mettre les parenthèses :  )
Paramétrage d’une droite :
Soit D une droite de , définie par un point  et sa direction F.
Alors 
Supposons que  , où  .
Alors  .
Soit  .
Ou encore, avec  : 
Remarque :
Si D est donnée par deux points A, A’ distincts.
On peut se ramener au cas précédent avec  ou exploiter les barycentres :
Avec  .
Equation :
Soit D passant par A de direction F.
F est une droite vectorielle en dimension 2, soit un hyperplan, donc admet dans une équation du type  . Alors :
Inversement, une partie de admettant une équation du type  , où  est la droite affine de direction  passant par A où  est tel que  .
Remarque :
Si D passe par  et est dirigée par  , alors :
En dimension 3
- Représentation paramétrique de droite :
Soit D passant par  dirigé par 
Alors :
- Pour les plans :
Soit P passant par de direction  .
Alors :
Inversement, si  avec  , alors P est un plan de direction passant par A où est tel que  .
Paramétrage d’un plan, obtention pratique d’une équation de plan P donné par et ,  engendrant la direction de P :
Ou alors :
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