Lecture de tables et interpolations affines








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date de publication05.06.2017
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DECF Maths

Mathématiques

TD

CORRECTION

Loi Normale et autres

Exercice 1 Lecture de tables

Compléter la table de 

t

0,92

2.03

1

0

2.99

3.2

4.5

(t)

0.8212

0.9788

0.8413

0.5000

0.9986

0.99931

0.999997

Exercice 2 Lecture de tables et interpolations affines

Calculer par interpolation affine une valeur approchée de (1.643), de (1.645) et (1.647)

Pour calculer par interpolation (1.643) on lit 

1.64

1.643

1.65

0.9495

x

0.9505

Donc = soit (1.643) » 0.9498
De même (1.645) » 0.95 et (1.647) » 0.9502
Exercice 3 Avec utilisation des formules

Soit t une variable aléatoire suivant la loi normale N(0 ;1).

Donner les arrondis à 4 décimales de

  1. P( t ≤ -1.73), P( t ≤ -3.1), P( t ≤ - 8), P( t ≤ -0.022),


On a (- t) = 1 - (t) donc on trouve les valeurs

t

-1.73

-3.1

-8

-0.022

(t) »

0.0418

0.0010

0

0.4920




  1. P( t > 1.73), P( t > 8), P( t ≥ -0.022).

Mêmes résultats car P(t > x ) = P(t ≥ x ) = 1 – P( t ≤ x ) = 1 - (x) =  (-x)


  1. P(0 < T < 1), P(2.8345 < T < 3.482) avec 3 décimales.

P(0 < T < 1) = (1) - (0) » 0.841 – 0.5 » 0.341

P(2.8345 < T < 3.482) = (3.482) - (2.8435) » 0.999 – 0.998 » 0.002


  1. P(-1 < T < 1), P(-2 < T < 2) avec 4 décimales.

P(-1 < T < 1) = 2 (1) – 1 » 20.8413 – 1 » 0.6826

P(-2 < T < 2) » 0.9544


  1. P(-2 < T < 2.4) et P(-3.1 < T < -1.2) avec 3 décimales.

P(-2 < T < 2.4) =  (2.4) - (-2) =  (2.4) – ( 1 - (2)) » 0.969

P(-3.1 < T < -1.2) » 0.114
Exercice 4

Soit Y une variable aléatoire suivant la loi normale N(m ;) avec m = 15 et  = 4.

  1. Calculer P(Y > - 4) avec 2 décimales.

On pose X = alors X suit la loi normale N(0 ;1)

P(Y > - 4) = P(X > -4.75) = 1 – ( 1 - (4.75)) » 1.00


  1. Calculer P(10.

P(100.79



  1. Calculer P(m - 2).

P(m - 20.95


Exercice 5

La demande mensuelle D d’un produit suit la loi normale N(100 ;15). Le stock au début du mois vaut 130. Calculer la probabilité de rupture de stock, c'est-à-dire P( D>130) .
P( D>130) = P(D* > ) » 0.0228 avec D* = qui suit N(0,1)
Exercice 6

Des études statistiques conduisent à considérer les taux d’alcoolémie d’automobilistes, en grammes par litre de sang, comme des variables aléatoires :

  • Pour les hommes, X suit la loi normale N(0.80 ;0.11)

  • Pour les femmes, Y suit la loi normale N(0.40 ;0.18)



  1. Calculer P(X>0.50), Calculer P(X>0.80), Calculer P(Y>0.50), Calculer P(Y>0.80)



P(X>0.50) » 0.997, P(X>0.80) » 0.5, P(Y>0.50) » 0.288, P(Y>0.80) » 0.013


  1. « Au-delà de 0.50 grammes d’alcool dans le sang, 3 points vous seront retirés sur votre permis et vous devrez payer une amende de 100 euros.
    Au-delà de 0.80 grammes d’alcool dans le sang, le tribunal correctionnel inflige une sanction plus lourde : 6 points vous seront retirés sur votre permis (ou suspension de permis) et vous devrez payer une amende pouvant aller jusqu’à 5 000 euros (ou une peine de prison).
    Une personne est contrôlée au hasard.
    Indiquer la probabilité qu’elle se voit retirer 3 points pour avoir conduit en état d’ivresse lorsque c’est :

      1. Un conducteur.

P(0.5

      1. Une conductrice.

P(0.5
Exercice 7 : Les trois lois
La variable X suit la loi indiquée. Remplir le tableau avec pour E(X) et V(X) les valeurs exactes et 3 décimales pour le reste.


Loi

B(8 ; )

P(8)

P(3.6)

N(0 ;1)

N(5 ;0.3)

E(X)

8 =

8

3.6

0

5

V(X)

8(1- ) =

8

3.6

1

0.3² = 0.09

X










1

0.3

P(X = 2)

0.273

0.011

0.177

0

0

P(X ≤ 2)

0.468

0.014

0.303

0.9772

1

P(X < 2)

0.195

0.003

0.126

0.9772

1

P(4< X ≤ 6)

0.085

0.214

0.220

0

0.999




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