Lois à densité (Partie 2)
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LOIS À DENSITÉ (Partie 2) L  e célèbre mathématicien allemand, Carl Friedrich Gauss (1777 ; 1855) conçoit une loi statistique continue, appelée loi normale ou loi de Laplace-Gauss, dont la répartition est représentée par la fameuse courbe en cloche.L’adjectif « normale » s’explique par le fait que cette loi décrit et modélise des situations statistiques aléatoires concrètes et naturelles. Prenons par exemple une population de 1000 personnes dont la taille moyenne est de 170 cm. En traçant l’histogramme des tailles, on obtient une courbe en cloche dont la population se concentre essentiellement autour de la moyenne. I. Loi normale centrée réduite 1) Définition et propriétés Définition : La loi normale centrée réduite, notée  , est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction f définie sur  par :  . La représentation graphique de la fonction densité de la loi  est appelée courbe en cloche.Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Contextes d'utilisation : Taille d'un individu, fréquence cardiaque, quotient intellectuel, … Remarque : Il n'est pas possible de déterminer une forme explicite de primitives de la fonction densité de la loi normale centrée réduite. Propriété : X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite .Pour tout  , il existe un unique réel positif  tel que  . Démonstration (exigible BAC) : Par symétrie de la courbe de la fonction densité f, on a :  où F est la primitive de f qui s'annule en 0.La fonction F est continue et strictement croissante sur  , il en est de même pour la fonction  .L'aire totale sous la courbe est égale à 1, donc par symétrie, on a :  .Donc  .On dresse le tableau de variations :
Si  alors  .D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel  de tel que  .Comme est strictement croissante, on en déduit que est unique.Cas particulier :  et    2) Espérance mathématique Propriété : X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite .Alors  .Démonstration : On admet que :  On a :   Donc  .On prouve de même que  et donc  .Remarque : On admet que si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite alors la variance  est égale à 1 et donc l'écart-type  est égal à 1.Méthode : Utiliser une calculatrice pour calculer une probabilité avec une loi normale centrée réduite  Vidéo TI https://youtu.be/kZVL8AR-1ug Vidéo Casio https://youtu.be/qD1Nt5fkQa4 Vidéo HP https://youtu.be/sp6zdgZcrvI  a) Calculer  .b) En déduire  et  .a) Avec une TI-83 Plus : Taper sur les touches "2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir normalFRéq(-10^99,0.6,0,1) Avec une TI-84 Plus : Taper sur les touches "2ND" et "VARS/Distrib" puis saisir normalcdf(-10^99,0.6,0,1) Avec une Casio Graph 35+ : Taper sur la touche "OPTN", puis dans l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis saisir NormCD(-10^99,0.6,1,0) On a ainsi :  b)  (événement contraire) et  (par symétrie).II. Loi normale 1) Définition Définition : Soit un nombre réel  et un nombre réel strictement positif  .Dire qu'une variable aléatoire continue X suit la loi normale d'espérance et d'écart-type , notée  , signifie que la variable aléatoire  suit la loi normale centrée réduite . Courbe représentative de la fonction densité de la loi  :Remarques : Vidéo https://youtu.be/ZCicmYQsl2Q - La courbe représentative de la fonction densité de la loi est une courbe en cloche symétrique par rapport à la droite d'équation  .- La courbe est d'autant plus "resserrée" autour de son axe de symétrie que l'écart-type  est petit.L'écart-type (ou la variance) est un caractère de dispersion autour de l'espérance qui est un caractère de position.  Méthode : Utiliser une calculatrice ou un logiciel pour calculer une probabilité avec une loi normale Vidéo https://youtu.be/obbgLyTmgsY Vidéo TI https://youtu.be/aipNt2M-c80 Vidéo Casio https://youtu.be/cZwInvxgGas Vidéo HP https://youtu.be/yXWtHFkTa1c Une compagnie de transport possède un parc de 200 cars. On appelle X la variable aléatoire qui a un car choisi au hasard associe la distance journalière parcourue. On suppose que X suit la loi normale  .a) Quelle est la probabilité, à 10-3 près, qu'un car parcourt entre 70 et 100 km par jour ? b) Déterminer le réel t tel que  . Interpréter. a) Avec GeoGebra : Aller dans le menu "Calculs probabilités" et saisir les paramètres dans la fenêtre qui s'ouvre. Avec une TI-83 Plus : Taper sur les touches "2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir normalFRéq(70,100,80,14) Avec une TI-84 Plus : Taper sur les touches "2ND" et "VARS/Distrib" puis saisir normalcdf(70,100,80,14) Avec une Casio Graph 35+ : Taper sur la touche "OPTN", puis dans l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis saisir NormCD(70,100,14,80) On a ainsi :  .La probabilité qu'un car parcourt entre 70 et 100 km par jour est d'environ 68,6%. b) Avec une TI-83 Plus : Taper sur les touches "2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir FracNormale(0.9,80,14) Avec une TI-84 Plus : Taper sur les touches "2ND" et "VARS/Distrib" puis saisir invNorm(0.9,80,14) Avec une Casio Graph 35+ : Taper sur la touche "OPTN", puis dans l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "InvN" puis saisir InvNormCD(0.9,14,80) On trouve  .90% des cars parcourent moins de 98 km par jour. Méthode : Déterminer une espérance ou un écart-type Vidéo https://youtu.be/OSqcC7jGmRg a) X est une variable aléatoire qui suit la loi normale  .Déterminer  tel que  .b) X est une variable aléatoire qui suit la loi normale  .Déterminer  tel que  .a)  où  est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.On peut ainsi utiliser la calculatrice pour déterminer  tel que  .Et on trouve :  soit  .b)  où  est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.On peut ainsi utiliser la calculatrice pour déterminer  tel que  Et on trouve :  soit  .2) Intervalles à "1, 2 ou 3 sigmas"  Propriétés : a)  b)  c)    Démonstration dans le cas 1 sigma :  avec Y variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite .On ne connaît pas de formule explicite d'une primitive de la fonction densité de la loi .A l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, on peut cependant obtenir une valeur approchée de la probabilité :  . Exemple : Vidéo https://youtu.be/w9-0G60l6XQ Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale  .Déterminer a et b tel que  Alors : a = 60 – 2x5 = 50 et b = 60 + 2x5 = 70. On a ainsi :  .III. Théorème de Moivre-Laplace Rappel : Soit une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale  .Alors X associe le nombre de succès lors de n répétitions d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p. On a dans ce cas :  et  .Théorème : n est un entier naturel non nul et  .Soit  une variable aléatoire qui suit la loi binomiale  .Soit  la variable centrée réduite associée à .Alors pour tous réels a et b tels que  , on a :  .- Admis - Remarque : Ce théorème traduit le fait que la probabilité d'un événement associé à une loi binomiale peut être approchée pas une probabilité d'un événement associé à la loi normale centrée réduite.  Méthode : Appliquer le théorème de Moivre-Laplace Vidéo https://youtu.be/m9zYSm_NJiw Vidéo https://youtu.be/4Y12jMMYyVM Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre n=1000 et p=0,3. Calculer  .E(X) = n x p = 1000 x 0,3 = 300 (X) =  D’après le théorème de Moivre-Laplace, la loi de  peut être approchée par une loi normale centrée réduite.Ainsi, à l’aide de la calculatrice, on :  . |
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