Cours de Mécanique des Fluides








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MECANIQUE DES FLUIDES

  • Généralités

  • Dynamique des fluides incompressibles (F1)

  • Viscosité (F2)

  • Pertes de charge (F3)

  • Tension superficielle (F4)

Liens : Expériences de mécanique des fluides

Cours de Mécanique des Fluides (BTS Industriels)

Terminale STL : Physique de Laboratoire et Procédés Industriels

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               GÉNÉRALITÉS

1 - Définition

Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

2 - Liquides et gaz

Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux. La propriété physique qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité.

         l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace.

         la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du récipient qui les contient.

         la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d’un fluide réel s'accompagne d'une résistance (frottements).

3 - Forces de volume et forces de surface

Comme tout problème de mécanique, la résolution d'un problème de mécanique des fluides passe par la définition du système matériel S, particules de fluide à l'intérieur d'une surface fermée limitant S. À ce système on applique les principes et théorèmes généraux de mécanique et thermodynamique :

         principe de la conservation de la masse.

         principe fondamental de la dynamique.

         principe de la conservation de l'énergie.

 

               DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES (F1)

1 - DEFINITIONS

Le débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement.

1.1 - Débit-masse

Si m est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, par définition le débit-masse est : unité : kg·s-1http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image002.gif

1.2 - Débit-volumehttp://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image003.gif

Si V est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, par définition le débit-volume est : unité : m3·s-1.

1.3 - Relation entre qm et qV

La masse volumique est donnée par la relation :          http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image004.gif  d'où :               http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image005.gif 

 Remarques :

Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulements isovolumes.

Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limitée) et pour des températures constantes on retrouve le cas d'un écoulement isovolume.

1.4 - Écoulements permanents ou stationnaires

Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps.

2 - Équation de conservation de la masse ou équation de continuité

2.1 - Définitions

Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point.http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image006.gif

Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée.

Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface S.

La section de base S du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).

 

 

 

2.2 - Conservation du débit

Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle de temps t, infiniment petit, la masse m1 de fluide ayant traversé la section S1 est la même que la masse m2 ayant traversé la section S2.

            http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image007.gif   En régime stationnaire, le débit-masse est le même à travers toutes les sections  droites d'un même tube de courant.

Dans le cas d'un écoulement isovolume ( = Cte) :

            http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image008.gif    En régime stationnaire, le débit-volume est le même à travers toutes les sections  droites d'un même tube de courant

2.3 - Expression du débit en fonction de la vitesse v

Le débit-volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à v, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S.

Il en résulte la relation importante : http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image009.gif          

2.4 - Vitesse moyenne







http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image010.gif

En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (à cause des forces de frottement). Le débit-masse ou le débit-volume s'obtient en intégrant la relation précédente :

Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne vm la vitesse telle que :    http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image011.gif

La vitesse moyenne vmoy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses.

Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite.

            http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image012.gif            C'est l'équation de continuité.

            http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image013.gifLa vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.

3 - Théorème de BERNOULLI

3.1 - Le phénomène

Observations

         Une balle de ping-pong peut rester en suspension dans un jet d'air incliné.

         Une feuille de papier est aspirée lorsqu'on souffle dessus.

Conclusion : La pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente.

3.2 - Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible

Un fluide parfait est un fluide dont l'écoulement se fait sans frottement.

On considère un écoulement permanent isovolume d’un fluide parfait, entre les sections S1 et S2, entre lesquelles il n’y a aucune machine hydraulique, (pas de pompe, ni de turbine).http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image014.gif

Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe à travers la section S1 entre les instants t et t+t. Pendant ce temps la même masse et le même volume de fluide passe à travers la section S2. Tout se passe comme si ce fluide était passé de la position (1) à la position (2).

En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à ce fluide entre les instants t et t+t (la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures : poids et forces pressantes), on obtient :

                                                                  http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image015.gif

p est la pression statique, http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image016.gif est la pression de pesanteur, http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image017.gif est la pression cinétique.

Tous les termes s’expriment en pascal.

En divisant tous les termes de la relation précédente par le produit g, on écrit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimées en mètres de colonne de fluide).http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image018.gif

 H est la Hauteur totale,    http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image019.gif est la Hauteur de Pression, z est la cote, http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image020.gif est la Hauteur cinétique,   http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image021.gifest la Hauteur piézomètrique.

3.3 - Cas d'un écoulement (1)(2) sans échange de travail

Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s’écrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes :

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image022.gif    ou        http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image023.gif

3.4 - Cas d'un écoulement (1)(2) avec échange d’énergie

Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l’énergie avec cette machine sous forme de travail W pendant une durée t. La puissance P échangée est      http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image025.gifhttp://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image024.gif

Unités : P en watt (W), W en joule (J),  t en seconde (s).

         P > 0 si l’énergie est reçue par le fluide (ex. : pompe) ;

         P< 0 si l’énergie est fournie par le fluide (ex. : turbine).

Si le débit-volume est qv, la relation de Bernoulli s’écrit alors :    http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image026.gif

4 - Application du Théorème de Bernoulli :

4.1 - Tube de pitothttp://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image027.gif

On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en B est le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur. Au point B, le liquide a la même vitesse v que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide pB = p.

En A, point d'arrêt, la vitesse est nulle et la pression est pA.

D'après le théorème de Bernoulli,

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image028.gif         http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image029.gif

En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v d'écoulement du fluide.

4.2 - Phénomène de Venturi

Un conduit de section principale SA subit un étranglement en B où sa section est SB. La vitesse d’un fluide augmente dans l’étranglement, donc sa pression y diminue : v> vA  pB < pA http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image030.gif

Le théorème de Bernoulli s'écrit ici :

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image031.gif

D'après l'équation de continuité, http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image032.gif et http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image033.gif  donc http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image034.gif

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image035.gif     La différence de pression aux bornes aux extrémités du tube de Venturi est proportionnelle au carré du débit ; application à la mesure des débits (organes déprimogènes).

On peut citer aussi la trompe à eau, le pulvérisateur...

4.3 - Écoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de Torricelli

Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant à l'orifice au point (2). En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (1) et (2),http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image036.gif

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image037.gif

Or p1 = p2 = pression atmosphérique ett v1<2 d'où     http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image038.gif

La vitesse d'écoulement est la même que la vitesse de chute libre entre la surface libre et l'orifice, quelle que soit la masse volumique du liquide.

 Application : vase de Mariotte à débit constant.

 

               VISCOSITE (F2)

1 - Le phénomène

1.1 - Observations

         L'eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des tourbillons ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière.

         La chute d'un parachutiste se fait à vitesse constante, contrairement à la loi de la chute libre.

         La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli.

1.2 - Conclusion

         Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres.

         Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement.

2 - Viscosité dynamique - Viscosité cinématique

2.1 - Profil des vitesses

Sous l'effet des forces d'interaction entre les molécules de fluide et des forces d'interaction entre les molécules de fluide et celles de la paroi, chaque molécule de fluide ne s'écoule pas à la même vitesse. On dit qu'il existe un profil de vitesse.




http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image039.gif

Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite perpendiculaire à l'écoulement d'ensemble, la courbe lieu des extrémités de ces vecteurs représente le profil de vitesse.

 Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres.

La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe : v = v(z).

2.2 - Viscosité dynamique

Considérons deux couches de fluide contiguës distantes de z. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit v, à leur surface S et inversement proportionnelle à z :

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/poly-mecaflu_fichiers/image040.gif

Le facteur de proportionnalité est le coefficient de viscosité dynamique du fluide.
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