On considère les familles de 4 enfants et l’on admet que la probabilité de naissance d’un garçon est égale à 0,52

Loi binomiale Familles de 4 enfants : Exercice 3 : On considère les familles de 4 enfants et l’on admet que la probabilité de naissance d’un garçon est égale à 0,52. Calculer les probabilités pour une famille d’avoir k garçons. Calculer la probabilité d’avoir les 4 enfants du même sexe. On a dénombré dans un ensemble de 100 familles, 8 familles sans garçon, 22 avec 1 seul garçon, 44 avec 2 garçons, 20 avec 3 garçons et enfin 6 familles avec 4 garçons. Peut-on admettre, au vu de ces données, le modèle proposé ? Calculer la fréquence moyenne des garçons pour ces 100 familles. Corrigé : Le nombre de garçons suit une loi binomiale. La probabilité d’avoir k garçons pour n enfants est avec n = 4, p = 0,52 et q = 0,48, k variant de 0 à 4 La probabilité d’avoir 4 enfants du même sexe, donc 4 garçons (p4) ou 4 filles (p0) est égale à p0+p4 = 0,0531+0,0731 = 0,1262 (environ 13 chances sur 100) Pour savoir si le modèle proposé est bon, il faut comparer les valeurs observées aux valeurs calculées (grâce à un test de Nombre de garçons Valeurs observées Valeurs calculées ci = n.pi 0 8 100*0,0531 = 5,31 1 22 23,00 2 44 37,38 3 20 27,00 4 6 7,31 H0 : « Le nombre de garçons par familles dans notre échantillon de 100 familles suit une loi binomiale avec p = 0,52 » On calcule le On le compare à celui de la table pour α = 5% et ddl =(n-1) = (5-1) = 4 : On voit que << L’écart entre les oi et les ci n’est pas significatif, H0 est retenue, notre échantillon suit bien le modèle binomial avec p = 0,52 La fréquence moyenne des garçons est égale à p’ = Régression linéaire Crabes Carcinus meanas : On a mesuré sur un lot de 15 crabes (Carcinus meanas) la largueur céphalothoracique y et la distance frontale x (en mm). Les résultats obtenus sont : x y n 15 15 Somme 360 750 Somme des carrés 8704 37780 18128 Etudier la corrélation entre les deux variables. Corrigé : On cherche avec très proche de 1,00 D’où la droite de régression avec et Droite : Fréquence cardiaque : On a relevé chez 12 adultes la fréquence cardiaque (nombre de battements du cœur par minute) et la pression systolique (en mm de mercure). Voici les résultats : 91 69 70 62 80 60 74 74 74 78 72 75 120 160 116 116 158 130 136 122 128 152 162 152 1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire 2) Peut-on prévoir la pression systolique connaissant la pression cardiaque ? Corrigé : On cherche d’abord (proche de 0) r2 = 0,11672 = 0,0136 (moins de 1,4%) Il n’y a pas de corrélation linéaire entre la fréquence cardiaque et la pression systolique x Fréquence cardiaque y Pression systolique 91 120 69 160 70 116 62 116 80 158 60 130 74 136 74 122 74 128 78 152 72 162 75 152 Somme 879,0000 1652,0000 Moyenne 73,2500 137,6667 60,0208 297,2222 7,7473 17,2401 On voit le nuage de points (pas de linéarité, la droite tracée n’a aucun sens physique) Comparaison de moyennes (ANOVA) Teneur en calcium : Lors d'une étude sur l'effet de la teneur en calcium dans la nourriture des brebis, le poids frais (en g) du muscle semi tendineux est mesuré sur 3 groupes d’animaux. D’après les résultats du tableau ci-après, que peut-on dire du poids frais du muscle semi tendineux chez ces 3 groupes d’animaux ? Gr. 1 61,80 46,00 21,70 25,20 48,80 47,70 39,00 43,10 39,90 Gr. 2 65,40 64,50 50,90 28,60 81,50 44,70       Gr. 3 65,70 48,10 64,20 67,90 42,30 62,00 44,30 56,30   Corrigé : C’est la comparaison de trois moyennes, ce qui se fait grâce à un test ANOVA Hypothèse nulle H0 = « Les trois poids frais moyens du muscle semi tendineux sont comparables » k=3 n1=9, n2=6, n3=8, n=(9+6+8)=23 k-1=2 n-k=20 Analyse de variance à un facteur (sur Excel) RAPPORT DÉTAILLÉ Groupes Nombre d'échantillons Somme Moyenne Variance Ligne 1 9 373,2 41,4667 149,145 Ligne 2 6 335,6 55,9333 343,05867 Ligne 3 8 450,8 56,3500 103,57714 ANALYSE DE VARIANCE Source des variations Somme des carrés Degré de liberté Moyenne des carrés F Probabilité Valeur critique pour F Entre Groupes 1185,1597 2 592,5799 3,2618 0,0594 3,493 A l'intérieur des groupes 3633,4933 20 181,6747 Total 4818,65304 22         F = 3,26 < F5%(ddl1=2 ; ddl2=20) = 3,49 H0 est retenue, les trois poids frais moyens du muscle semi tendineux sont tout juste comparables (p=0,059=5,9%) Envergure des albatros : Les mesures qui suivent donnent l’envergure de 10 albatros dans trois régions fixes A,B,C. Cette envergure diffère-t-elle d’une région à l’autre ? A 60,70 51,13 55,24 49,54 57,97 55,73 56,67 56,01 51,66 54,96 B 52,69 62,97 44,47 52,01 52,27 56,37 56,14 59,21 59,98 57,46 C 62,02 49,94 49,76 47,45 52,24 40,67 50,55 51,54 52,82 60,71 Corrigé : C’est la comparaison de trois moyennes, ce qui se fait grâce à un test ANOVA Hypothèse nulle H0 = « Les envergures moyennes des albatros sont comparables pour les trois régions » k=3 n1=n2=n3=10 n=3*10=30 k-1=2 n-k=27 Analyse de variance: un facteur RAPPORT DÉTAILLÉ Groupes Nombre d'échantillons Somme Moyenne Variance Ligne 1 10 549,61 54,961 11,2934322 Ligne 2 10 553,57 55,357 27,4010011 Ligne 3 10 517,7 51,770 37,4569111 ANALYSE DE VARIANCE Source des variations Somme des carrés Degré de liberté Moyenne des carrés F Probabilité Valeur critique pour F Entre Groupes 77,3529 2 38,6764 1,524 0,2361 3,3541 A l'intérieur des groupes 685,3621 27 25,3838 Total 762,714987 29         F = 1,524 < F5%(ddl1=2 ; ddl2=27) = 3,354 H0 est retenue, les envergures moyennes des albatros sont comparables pour les trois régions (p=0,2361=23,61%)

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