On note l’ensemble








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date de publication08.08.2018
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  1. Structures Algébriques

Structures Algébriques 1

Définitions 3

Groupes 7

)IDéfinitions 7

)IISous-groupe 7

)1Propriétés diverses 9

)2Application à (Z,+) 9

)3Application au groupe des permutations 9

Index des notions 11

  1. Définitions

Soit E un ensemble.

Def (loi de composition interne) : On appelle « loi de composition interne » sur E une application f de dans E. Soient. L’image est appelée composé de x et y et se note généralement.

Rq : Si E est fini, on peut décrire la loi de composition par sa table de Pythagore.



Def (commutatif, associatif) : La loi de composition T est dite :

- commutative ssi

- associative ssi

Def (centre) : On appelle centre de E (relativement à T) le sous-ensemble C les éléments qui commutent avec tous les autres.



Un élément du centre est appelé central.

Def (élément neutre) : Un élément est dit élément neutre si : .

Def (élément simplifiable) : Un élément est simplifiable si

Def (élément symétrisable) : Un élément est dit symétrisable s’il existe un élément neutre e et s’il existe tel que.

On dit que est le symétrique de x.

Def (permutation) : Une bijection de E dans E est appelée permutation de E.

Rq : 1) S’il existe un élément neutre, alors il est unique.

2) Si est le symétrique de x, alors x est le symétrique de .

3) Si et sont les symétriques de x et y, et si T est associative, alors est le symétrique de .

4) Si T est associative, et si x est symétrisable, alors x est simplifiable.

5) Si est simplifiable et symétrisable, alors son symétrique est unique.

6) Soient X et Y deux parties de E.

On note l’ensemble :

Soit , on note

7) Une partie est dite stable (relativement à T) si .

Prop : Soient E un ensemble, T une loi de composition sur E associative, et .

Alors le composé de , dans cet ordre, ne dépend pas du parenthésage, et on le note .

Notations :

- une loi de composition associative est souvent notée multiplicativement :



Le composé est appelé produit

L’élément neutre est appelé unité et est souvent noté 1.

Un élément symétrisable est dit inversible, son symétrique est appelé inverse, et noté .

On note le produit nième de x avec lui-même.

- une loi de composition associative et commutative est souvent notée additivement.

Le composé s’appelle une somme, le symétrique, un opposé noté , et l’élément neutre peut être noté 0.

  1. Groupes

)IDéfinitions


Soient E un ensemble et T une loi de composition sur E.

Def (magma) : L’ensemble E muni de T, noté est appelé magma.

Def (semi-groupe) : Si T est associative, est appelé semi-groupe.

Def (magma unifère) : S’il existe un élément neutre, est appelé un magma unifère.

Def (monoïde) : Un semi-groupe unifère est appelé un monoïde.

Def (groupe) : Un monoïde dont tous les éléments sont inversibles et appelé un groupe.

Def (groupe abélien) : Si T est, de plus, commutatif, on parle de groupe commutatif ou abélien.

Def (ordre d’un groupe) : On appelle ordre d’un groupe le cardinal de G.

Si l’ordre est fini, le groupe est dit fini.

Si l’ordre est infini, le groupe est dit infini.

)IISous-groupe


Def (sous-groupe) :

Soit G un groupe, .

Si h est stable pour la loi de composition de groupe, et si H muni de la loi de composition restreinte à est un groupe, , alors on dit que H est un sous-groupe de G.

Il est appelé sous-groupe propre si et .

Rq : Soit H sous-groupe de G.

Soit

Alors .

Prop :

Soit G un groupe, .

Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. H est un sous-groupe de G.

2. Ø et

3. Ø et

Def (sous-groupe engendré) :

Soit G un groupe, .

Alors l’intersection de tous les sous-groupess contenant X est un sous-groupe, noté , appelé sous-groupe engendré par X.

- Si , on note

- L’ordre de est l’ordre de

- S’il existe tel que , alors on dit que G est monogène.

- Si G est monogène et fini, alors on dit que G est cyclique.

- Si , on dit que X est une famille génératrice et les éléments de X sont des générateurs.

Rq : Un élément à un sous-groupe H si et seulement si est un sous-groupe de H.

Prop : Soit G un groupe, .

Si Ø, alors

Si Ø,

.

Def (sous-groupe distingué) :

Soit G un groupe.

Un sous-groupe H de G est dit distingué, invariant ou normal, si.

De façon équivalente : si

Notation : Si H est un sous-groupe distingué de G, alors on note : .

Def (groupe simple) : Si G n’a pas de sous-groupe propre qui soit distingué, alors on dit que G est un groupe simple.

)1Propriétés diverses


1) Soit G un groupe monogène. Il existe tel que .

Conséquence : G est commutatif.

2) Si G est cyclique (ie monogène et fini) tel que . Alors avec .

3) Si G est un groupe commutatif, alors tous ses sous-groupes sont distingués.

4) Soient G un groupe et H un sous-groupe.

H est distingué .

5) Soit G un groupe.

On défini .

On appelle sous-groupe dérivé de G le groupe .

Si G est commutatif,

Propriété : est un sous-groupe distingué.

)2Application à (Z,+)


Th : Soit H un sous-groupe de . Alors il existe un unique entier tel que .

)3Application au groupe des permutations


Def (groupe des permutations) : Soient E un ensemble et l’ensemble des bijections de E dans E, muni de la composition est un groupe appelé groupe des permutations de E.

Propriété : Si alors

Notation : Si E est fini, , alors on note la permutation σ :

Etude des générateurs de S(E) quand E est fini


Rq : Quand E est fini, est appelé groupe symétrique.

)iCycles d’une permutation


Def (orbite) : Soit . On appelle orbite de x l’ensemble : .

Prop : Soient E un ensemble et . L’ensemble des orbites de σ constitue une partition de E.

  1. Index des notions

application symétrique 

CDO 4

associatif 

StructAlg 3, 4, 7

centre d’un magma 

StructAlg 3

élément neutre 

StructAlg 3, 4, 5, 7

élément simplifiable 

StructAlg 3

élément symétrisable 

StructAlg 3, 4, 5

éléments générateurs 

StructAlg 8, 10

famille génératrice 

StructAlg 8

groupe 

StructAlg 7, 8, 9, 10

groupe abélien 

StructAlg 7

groupe cyclique 

StructAlg 8, 9

groupe des permutations 

StructAlg 9

groupe monogène 

StructAlg 8, 9

groupe simple 

StructAlg 8

groupe symétrique 

StructAlg 10

loi commutative 

StructAlg 3, 4, 7, 9

loi de composition interne 

StructAlg 3, 4, 7, 9

magma 

StructAlg 7

monoïde 

StructAlg 7

orbite 

StructAlg 10

ordre d’un groupe 

StructAlg 7, 8

permutation 

StructAlg 4, 9, 10

semi-groupe 

StructAlg 7

sous-groupe 

StructAlg 7, 8, 9

sous-groupe dérivé 

StructAlg 9

sous-groupe distingué 

StructAlg 8, 9

sous-groupe engendré 

StructAlg 8

sous-groupe propre 

StructAlg 7, 8

unifère 

StructAlg 7

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