Recherche des valeurs propres
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f(t)=  c´est une loi asymétrique, limitée d´un seul côté et d´habitude de forme « en cloche». Le symbole Γ représente la fonction gamma. La loi Pearson type III (notée P3) est caractérisée par 3 paramètres : la moyenne μ, l´écart-type σ et la constante α définissant le coefficient d´asymétrie Cs par la relation : Cs=  Pour une asymétrie positive ( α > 0), le domaine de définition de la v.a. Xd´origine ( avant standardisation) est de ( μ – α.σ ) à +∞ et pour une asymétrie négative, il est de -∞ à ( μ – α.σ ) – Lorsque α tend vers ∞, Cs tend vers 0 et la courbe devient symétrique et se transforme en courbe de la loi de Gauss (normale). Donc la loi normale est un cas particulier de la loi Pearson type III. Si 0 < α ≤ 1 la courbe diminue continuellement, si -1 ≤ α < 0 la courbe augmente de manière continuelle. Si pour Cs> 0 on a Cs = 2 Cv la v.a. prend ses valeurs à partir de la valeur 0. Donc la v.a. prend ses valeurs positives uniquement lorsque Cs ≥ 2 Cv ! Pour la v.a. t, le domaine de définition est pour α>0 de ( -α, +∞)et pour α<0, il est de (- ∞, +α) . On peut aussi opérer la transformation suivante de la v.a. t : u= α ( α + t) et la f.d.p. f(t) ci-dessus devient : f(u) =  Pour la représentation graphique de la loi Pearson III on utilise le diagramme des probabilités de la loi binomiale avec indication de l´échelle des Cv en haut à gauche et en bas à droite du diagramme. Sur ce diagramme les points empiriques (xi , F(xi)) de l´échantillon étudié s´alignent selon une droite (droite d´Henri) si la distribution empirique suit la loi Pearson III.
Une autre loi statistique pour l´analyse des valeurs extrêmes est proposée par le statisticien américain Weibull. La distribution de valeurs extrêmes de type III proposée par Weibull est utilisée pour l´analyse statistique des minimums (débits, précipitations,...etc.). C´est une distribution avec limite inférieure. C´est pour cette raison qu´elle est largement utilisée pour l´analyse des débits minimaux. Sa f.d.p. est : f(x) =  la forme de la fonction de la probabilité au dépassement P(x) est beaucoup plus simple : P(x) =  Les 2 fonctions ci-dessus ont 3 paramètres :
La transformation de la v.a. x conduit à l´expression : Ln(x-x0) = Ln(q-x0) +  u =  où  est le mode et σ l´écart-typeNous n´avons présenté ici que quelques lois statistiques de variables aléatoirescontinues largement utilisées en hydrologie. Il en existe d´autresou des modifications des précédentes qui ne sont pas souventappliquées aux données hydroclimatologiques Algériennes. Petite conclusion : Les échantillons de données hydroclimatologiques dont disposent les hydrologues n´excèdent pas en général deux cents ans d´observations et dans les pays d´Afrique du Nord le nombre d´éléments de ces échantillons est de seulement quelques dizaines. Il est par conséquent, très risqué d´extrapoler à partir des courbes empiriques de distribution des probabilités vers des valeurs d´évènements très rares (crues de période de retour 10000 ans, 100000 ans par ex. pour lesquelles des ouvrages de protection sont dimensionnés). Ce sont les lois statistiques théoriques qui nous permettent cette extrapolation. TESTs D´AJUSTEMENT Synonymes: test d´adéquation, test de concordance La concordance ( ou non) entre la distribution empirique et la distribution théorique choisie peut être vérifiée visuellement, soit à partir du graphe donnant en même temps l´histogramme des fréquences et la courbe f.d.p. (courbe rouge en Fig. 1), soit à partir des diagrammes des lois statistiques où sont portés les points empiriques et la droite d´Henri. L´appréciation visuelle de la comparaison entre l´histogramme (ou polygone) de fréquences des données de l´échantillon d´une variable aléatoire et la courbe théorique de la loi statistique choisie, et supposée être la distribution théorique de la population dont est issu l´échantillon étudié, ne nous permet pas souvent de conclure à une bonne ou mauvaise concordance des deux distributions (empirique et théorique). Cette incertitude peut être levée en procédant à une comparaison quantitative, donc à l´utilisation des tests d´ajustement non paramétriques: test de χ2 ou test de Kolmogorov-Smirnov.
En général, pour tester la validité d´une affirmation, on utilise les tests d´hypothèses – l´hypothèse nulle H0 et son alternative l´hypothèse H1. Soit un échantillon de taille n et de distribution de fréquences absolues ni (i=1,2,...k) – kest le nombre de classes considéré (distribution empirique), échantillon que nous supposons provenir d´une population avec une distribution théorique déterminée ni´ (i=1,2,....k) par ex. Distribution normale, Lognormale, Gumbel ou autre. Nous allons tester l´hypothèse H0 : ni = ni´ contre H1 : ni  ni´Autrement dit mais sous forme de questions: notre échantillon observé provient-il d´une population de théorique choisie sur la base d´un prétraitement déjà éffectué (graphe d´histogramme et courbe f.d.p.) ? ou H0 est-elle vérifiée ou non? L´hypothèse H0est acceptée contre son alternative H1et la différence ni - ni´ est considérée comme purement aléatoire. Le critère de test est la variable aléatoire χ2 =  qui a la distribution χ2 avec le nombre de degrés de liberté ddl= k-p-1, où k-nombre de classes considérées en fin de compte, p – nombre de paramètres estimésde la loi théorique choisie. Par exemple, si nous considérons la loi de Gauss comme loi théorique probable pour notre échantillon, nous savons que la loi de Gauss a 2 paramètres, donc p=2, la loi LN2 a 2 paramètres (donc p=2), la loi LN3 a 3 paramètres (donc p=3), la loi de Gumbel a 2 paramètres (donc p=2), la loi Pearson III a 3 paramètres, soit p=3, ....etc. Nous chercherons les valeurs critiques χ2α,ddl dans les tables statistiques pour le seuil de signification α=0,05 ou α=0,01 (5% resp.1%) et f calculé. Par exemple pour α=0,05 et ddl=4, χ2α,ddl  9,5Si χ2<χ2α,ddl, alors l´hypothèse H0 sur la concordance de la distribution empirique (échantillon) avec la distribution théorique choisie est vérifiée et acceptée au détriment de H1. Nous pouvons ainsi affirmer que notre échantillon provient de la population ayant la distribution théorique choisie et que les différences ni –ni´ sont purement aléatoires. Dans le cas contraire (χ2>χ2α,ddl), nous rejetons l´hypothès H0 avec un seuil de signification α et nous considérons que les différences entre la ditribution empirique et la distribution théorique choisie sont statistiquement significatives (autrement dit que la distribution théorique choisie ne convient pas à notre échantillon !). . Plus χ2est petit devant χ2α,ddl meilleure est la concordance (ajustement) entre la distribution empirique et la distribution théorique. Le test χ2n´est applicable que si les fréquences absolues théoriques ni´ dans les classes sont > 5 pour le nombre de classes Nc>5 et ni´ > 10 pour Nc<5. Dans le cas où ce critère n´est pas rempli, on peut fusionner les classes voisines de sorteà avoir ni´ > 5. Exemple d´application: Soit la série pluviométrique d´El Kseur distribuée en TD (colonne Totaux annuels) avec n=61 ans d´observations. Calculons le nombre de classes k à former avec notre échantillon, tel que Nc= 1 + 3.3 * log n ( soit k= 1+3.3*log61) ici log est logarithme décimal ! donc h =L´amplitude (intervalle) de classe et se calcule : h =  =  =128,3 mmh = 128 mm La figure 1 nous indique déjà que la loi normale épouse bien la distribution de l´échantillon de totaux annuels pluviométrique d´El Kseur. Elle pourraitdonc être la loi à ajuster à cet échantillon. Calculons d´abord les caractéristiques de l´échantillon que nousconsidérons comme étantles meilleures estimations desparamètres de la loi normale :  =  = =770,5 mms =  =  = 204,8 mmLe tableau 2.3.1.1 donne les calculs complets pour le test χ2. Tableau 2.3.1.1 Test d´ajustement des totaux annuels pluviométriques à la loi normale
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f(zi)
= - 1,83
= - 1,20
*0,075 = 2,86
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