Recherche des valeurs propres
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z0,95= 1,64 z0,975=1,96 z0,99=2,33 z0,995=2,58 Les valeurs de la fonction de distribution standardisée et les quantiles correspondants sont donnés dans chaque bon ouvrage des statistiques. On utilise parfois pour la variable standardisée la lettre u ou t au lieu de z, mais ce n´est qu´une question de notation ! A la place des quantiles on utilise aussi souvent les valeurs dites « critiques ». La valeur critique de la variable aléatoire continue X est la valeur pour laquelle P(X≥xα) = α ou P(X La probabilité α est appelée seuil de signification et P= 1- α est la probabilité de confiance (fiabilité). Nous savons (cf. Cours hydrologie statisque – 3.A LMD ) que les deux formes (originale et standardisée ) de la fonction de densité des probabilités de la loi normale est symétrique. Cette symétrie implique pour les quantiles standardisés zp= - z1-p Les intervalles de confiance pour la moyenne μ et l´écart-type σ d´une population qui suit la loi normale se déduisent à partir de la moyenne et de l´écart-type de l´échantillon issu de cette population :
Synonyme : loi de Gauss, loi de Gauss-Laplace) Pour la v.a. X, sa f.d.p. est f(x)=  .  Sa forme standardisée ( si on pose u=  ) est : f(u) =  .  La fonction de répartition standardisée de la loi normale est : F(u)=  pour un échantillontiré d´une population qui suit la loi normale u=  où  est la moyenne de l´échantillons est l´écart-type de l´échantillon Ainsi donc, on note le quantile u correspondant à la fonction F(u) par uF et xF le quantile correspondant à F(x), tel quexF = uF . s + et cette équation d’une droite (de variables xF et uF et de paramètres s et ) estdite équation de la droite « d´Henri » dans le diagramme des probabilités de Gauss où l´échelledes ordonnéesxF est arithmétique et l´échelle des abscisses F ( et UF) estGaussienne. F et UF sont données par les tables statistiques pour la loi deGauss (loi normale).Les tables statistiques ne donnent pas toutes les valeurs des quantiles uF (resp. F- probabilités au non-dépassement). Mais il existe un algorithme très performant pour le calcul des fonctions quantiles UF issues de la loi normale standardisée pour n´importe quelle probabilité au non-dépassement F . Ce calcul peut être réalisé sur une calculatrice de poche : UF = w -  (2.2.1)Avec A= a0 + a1*W + a2*W2et B= 1 + b1*W + b2*W2 + b3*W3 W =  a0= 2,515517 a1 = 0,802853 a2 = 0,010328 b1 = 1,432788 b2 = 0,189269 b3 = 0,001308 L´équation 2.2.1 ci-dessus s´applique pour 0 ≤ F ≤0,5 Pour F>0, 5 on utilise la propriété connue des quantiles de la loi normale qui dit UF = -U1-F . La loi normale s´ajuste bien à l´échantillon observé et l´expression de la droite d´Henry pour cette loi servira à calculer les quantiles rares ( non mesurés) entrant dans les considérations de dimensionnement d´ouvrages hydrauliques par exemple. La loi normale s´adapte en général bien aux données annuels (ex. débits moyens annuels des cours d´eau des régions tempérées, les totaux moyens annuels des précipitations des régions Exemple d´application : Nous savons en TD que la série des totaux pluviométriques annuels de la station d´El Kseur suit la loi de Gauss (normale). Calculez le total pluviométrique annuel de période de retour 1000 ans Réponse : Variante 1 :Utilisation de la table de la loi de Gauss Pour T=1000 on a F= 1- 1/T = 1-0,001=0,999 La table de Gauss donne pour F=0,999 UF = -2,99 Donc U1-F = 2,99 Nous savons que la moyenne  = 770,5 mm et Sh = 204,8 mmhT = U1-F * Sh + (hT est le total annuel correspondant à T)Donc h1000 = 204,8 * 2,99 + 770,5 = 1383 mm Donc le total pluviométrique annuel dépassé en moyenne 1 fois tous les 1000 ans est de 1383 mm Variante 2 : Utilisation de l´équation (221) Celle-ci donne pour 1-F= 1/T =1/1000 = 0,001 L´équation donne W=3,7169, soit U1-F = 3 Donc hT = 3*204,8 + 770,5 = 1385 mm Les 2 variantes donnent grosso modo le même résultat ! méditerranéennes). L´ajustement de la loi normale à l´échantillon observé se vérifie ( voir TD1 ) en portant les points empiriques xi, F(xi) (les valeurs xi classées
A certaines données hydroclimatologiques correspondent mieux les lois statistiques asymétriques comme par exemple la loi Log normale à 2 ou à 3 paramètres. La loi Log normale à 2 paramètres est notée LN2 et à 3 paramètres LN3. Ces lois s´appliquent aux échantillons de données très asymétriques. Les débits des cours d´eau algériens suivent en général la loi LN2 (Figure 2). Si la variable aléatoire X suit la loi Log normale, son logarithme (naturel ou décimal) suit la loi normale. Soit pour la v.a X
Sa fa fonction de densité des probabilités f.d.p. pour une population de paramètres m et σ - est f(x)=  Où m==μ=  xi) et σ est l´écart-type des Ln(xi)(s= écart-type des Ln(xi) pour un échantillon). La variable standardisée est donc z =  Le quantilexF =  ( F et zà chercher dans Table de la loi normale, F- probabilité au non dépassement et z quantile correspondant à F). Les paramètres de LN2 sont m et s (resp. σ).Exemple d´application : Reprenons la série de débits moyens annuels de l´oued Boughrara, distribuée au TD1.
i=ordre des débits classés et n= nombre total d’éléments de la série
Que concluez-vous ? Calculez le débit de période de retour 10 000 ans Réponse : si vous avez bien porté vos points sur le diagramme, ceux-ci (vous le remarquerez ! ) devraient s´aligner plus ou moins autour d´une droite (droite d´Henri) ayant pour équation Y1-F = Z1-F *S +m avec m=moyenne des Ln(Qi) et S=écart-type des Ln(Qi) les calculs donnent m= 1,714 et S= 0,704 mais Y1-F= Ln (Q1-F) ( ou resp. YF = Ln(QF) la période de retour T=10 000 donc probabilité au dépassement 1-F=1/T = 10-4 , et la probabilité au non-dépassement est F=0,9999 et la table de la loi normale centrée réduite distribuée donne pour ZF= 3,73, donc Z1-F=3,73 Y1-F = 3,73 *0,704 + 1,714=4,34 Soit 4,34=Ln(Q1-F) Q1-F= e4,34=76,701 m3/s Donc le débit annuel de l’oued Boughrara correspondant à la période de retour de 10 000 ans est de 76,701 m3/s ! donc U1-F = 2,457 , soit y1-F = 1,714 + 0,704 * 2,457 = 3,444 Q1-F = exp (y1-F) = 31,30 m car F étant la probabilité au non-dépassement, donc 1-F est la probabilité au dépassement et Q1-F étant le débit dépassé en moyenne 1 fois tous les 125 000 ans !
f(x)=  m=moyenne des Ln(xi -a) et σ est l´écart-type des Ln(xi -a)(s= écart- type des Ln(xi-a) pour un échantillon) La variable standardisée est donc z =  Le quantilexF =a + a est un paramètre dont la valeur est proche du minimum de l´échantillon étudié, sinon il est à déterminer par essais successifs jusqu´à ce que les points (F, (xi- a)) s´alignent suivant une droite dans le diagramme de la loi Lognormale( F et zà chercher dans Table de la loi normale, F- probabilité au non dépassement et u quantile correspondant à F). Les paramètres de LN3 sont a,m et s (resp. σ). La loi Lognormale s’applique en générale aux échantillons dont le coefficient d’asymétrie Cs  3Cv + Cv3( donc pour des échantillons avecune forte asymétrie). En Algérie, cette loi est utilisée aussi bien pour les données moyennes et les données extrêmes débits moyens annuels ou débits maximaux (ex. Fig.2 ci-après). 
(ou Loi des Valeurs Extrêmes de type I) L’importance de la loi de Gumbel réside dans son utilisation en analyse fréquentielle desvaleurs extrêmes (calcul des crues de projet par exemple). Elle fait partie de la famille des lois exponentielles ou encore de la loi Généralisée des Valeurs Extrêmes (G.E.V.). La loi de Gumbel a 2 paramètres : le mode, noté  et l´écart-type σ (resp. s). La variable aléatoire X prend ses valeurs de - ∞ à + ∞. En posant pour la variable réduite u= (ou u= pour un échantillon), on peut écrire sa f.d.p. f(x)= . . et sa fonction de répartition F(x)= et sa probabilité au dépassement par P(x)= 1-On peut également exprimer la variable réduite z de la loi de Gumbel au moyen des paramètres généraux α et β : u= α (x – β) Les constantes α et β pouvant être exprimées à partir des caractéristiques de l´échantillon de valeurs comme : α =  et β = - 0,45.s(s étant l´écart-type de l´échantillon donné). Sur le diagramme des probabilités de Gumbel la droite d´Henri a pour expression : xF = - 0,45.s+ uF . s /1,28avecuF = - Ln(-Ln(F))(F étant la probabilité au non dépassement), ou bien en terme de probabilité au dépassement P : uP = - Ln(-Ln(1-F)) Comme il a été dit plus haut, La loi de Gumbel est souvent utilisée pour l'étude des valeurs extrêmes(crues, pluies extrêmes). Le coefficient d´asymétrie de la loi de Gumbel est constant et égal à Cs = 1,139. C´est ce défaut qu´on lui reproche, bien que beaucoup d´échantillons de débitsaient un Cs proche de cette valeur.
K. Pearson a développé 12 lois statistiques mais seules les lois Pearson I et Pearson III sont utilisées en hydrologie. La loi Pearson III est plus connue et plus largement utilisée que le type I. Nous décrirons donc brièvement ici que la loi type III. La loi de Pearson type III a pour fonction de densité des probabilités pour la v.a centrée réduite t (f.d.p.) : |
zα/2 .( sx/
)
zα/2 .( sx/
)similaire:
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 | «droits de l’hommiste». Autre branche de contestation : la bannière des droits de l’homme est une façon de défendre des valeurs occidentales,... | | |
| «la recherche d'un avenir pour les peuples et les pays polynésiens, où les cultures, les valeurs et les traditions seront protégées... | | «Les valeurs sont un ensemble de croyances et d’attitudes de l’individu au sujet de la vérité, de la beauté, de la valeur, ou de... |
| «intérieur» signifie que le pib ne comptabilise uniquement les valeurs ajoutées des unités de productions qui résident sur le territoire,... | | «ensemble de normes, de règles, de conduite propres à une société donnée». Elle peut designer les obligations concrètes, les règles... |
| «softlaw», car ces textes ne vont pas être impératif, IL n’entre pas en vigueur, ils ne s’imposent pas, pas de valeurs juridiques... | |