Recherche des valeurs propres
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                                                             République Algérienne Démocratique et PopulaireMinistère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Abderrahmane Mira de Bejaia Faculté de Technologie Département d’Hydraulique Atmane Allouache HYDROLOGIE pour les étudiants de Master 1 POLYCOPIÉ 1ère.Éditon BEJAIA 2014 Table des matières
AVANT-PROPOS Ce polycopié vient combler un manque flagrant d´ouvrages traitant de l´hydrologie statistique dans les bibliothèques de l´Université de Bejaia.
Les processus hydrologiques,comme forme temporelle de l´action mutuelle des phénomènes hydrologiques, sont de par leur nature, des phénomènes de caractère stochastique (aléatoire). Les méthodes statistiques, c´est á dire probabilistes, étudient les phénomènes ou processus hydrologiques au moyen de modèles, reproduisant leur caractère stochastique (probabiliste). Leur base mathématique est la théorie des probabilités avec toutes ses branches modernes. L´utilisation á large échelle de l´analyse statistique et probabiliste en hydrologie est due au caractère aléatoire des évenements naturels comme par exemple, les précipitations, l´écoulement sous forme de débits, ...etc. Il faut rappeler que l´utilisation mécanique des statistiques, sans compréhension des phénomènes auxquels elles s´appliquent, peut mener á des résultats erronés, illogiques et parfois même dangereux (mauvais dimensionnement d´un évacuateu de crues par exemple !). Dans le chapitre 2, nous rappelerons briévement quelques notions des statistiques et des probabilités. Nous décrirons ensuite briévement quelques lois statistiques couramment utilisées en hydrologies et nous indiquerons pour chacune d´elles pour quel type de données elles sont souvent utilisées. Quelques tests d´ajustement de ces lois aux distributions empiriques seront également traités dans ce chapitre. Le chapitre 3 sera consacré aux relations entre variables aléatoires. Concrètement, les régressions simple et multiple seront étudiées. Le chapitre 4 est dédié aux études de crues et étiages. Le chapitre 5 sera consacré à l´utilisation en hydrologie de l´analyse en composantes principales. Une conclusion générale sur le module enseigné sera donnée en fin du polycopié. 2.Rappels de quelques notions des statistiques 2.1 Notions de base - Populationstatistique C´est un ensemble d´individus ou d´unités statistiques. Elle peut être finie ou infinie, dénombrable ou non dénombrable. Du point de vue strictement théorique, une population est infinie et non dénombrable. Par un artifice, on peut remplacer une population finie par une population infinie (tirage avec remplacement). Par exemple, l´ensemble des habitants sur la Terre peut être assimilé à une population statistique et l´ensemble des habitants de Béjaia est un échantillon de cette population. L´exemple donné convient à une population finie. L´ensemble des êtres vivants sur la Terre (et encore plus sur l´univers) peut être considéré comme population infinie! Les séries de variables hydroclimatologiques avec lesquelles nous travaillons ne sont que des échantillons de populations pouvant être considérées comme finies ou infinies.
est un ensemble d´individus tirés d´une population, c´est donc un ensemble (une partie) d´une population.Un ensemble d´individus tirés aléatoirement d´un échantillon est lui-même un échantillon aléatoire. Par exemple, vous avez tiré en TD des échantillons (débits et précipitations) à partir des échantillons d´origine (série de débits de l´oued Boughrara ou série des précipitations d´El kseur).
constituent les éléments d´une population ou d´un échantillon statistique. Chaque individu ou unité statistique est décrit selon une ou plusieurs caractéristiques désignés par variable, caractère ou attribut. Tous les individus d´une population (ou échantillon) doivent avoir au moins un caractère (attribut ou variable) commun. Par rapport à ce caractère la population (l´échantillon) est homogène. Elle peut ne pas l´etre par rapport aux autres !
En statistique économique, on désigne sous ce terme les différents attributs d´une variable. Chaque individu ne doit présenter qu´une et une seule modalité à la fois (exhaustivité et disjonctivité).
f(x) représente donc la probabilité que la v.a. X prenne la valeur x, ou autrement f(x)=P(X=x). Mais en hydrologie, on travaille beaucoup avec son intégrale (  , qui est la
F(x) est la fréquence relative cumulée des individus dont la valeur est inférieure ou égale à x. C´est donc une probabilité selon la définition statistique de la probabilité, autrement dit F(x)= P(X ≤ x), appelée Fonction de la probabilité au non-dépassement. La fonction complémentaire à 1, telle que G(x)= 1 – F(x) est la fréquence relative cumuléedes individus dont la valeur est supérieure à x, c´est aussi une probabilité et donc G(x)= P(X > x), appelée Fonction de laprobabilité au dépassement.
Les hydrologues utilisent souvent la notion de période de retour. Celle-ci est étroitement liée à celle de probabilité au dépassement ( ou au non-dépassement). Soit une variable aléatoire quelconque X qui prend ses valeurs avec le pas de temps annuel ( par ex. débits moyens annuels, débits maximum annuels, totaux pluviométriques annuels,...etc.) et soit x une valeur quelconque choisie arbitrairement ( ou simplement connue) , la période de retour de T années d‘ un évènement X est définie comme T=  , oùF(x)=Prob(X  ). Ainsi donc on peut définir un débit annuel QT de période de retour T comme le débit dont la probabilité de dépassement au cours d‘ une année est de 1 chance sur T, soit Prob(Q T) = 1- F(QT)=  Et la Prob(Q  T) = F(QT)=  A titre d‘exemple, le débit, noté Q10, de période de retour T égale à 10 ans est appelé «débit décennal» et le débit centennal Q100 est le débit dont la période de retour T est égale à 100 ans, ... et ainsi de suite. Cette appelation est commode dans le langage de dimensionnement des évacuateurs de crues par exemple. Cette appelation de «période de retour», quoique pratique pour souligner que l’évènement QT se produit rarement est toutefois trompeuse car elle pourrait faire croire que l’évènement ( exemple crues) se produit de manière régulière toutes les T années. Alors qu‘ en réalité qu’il ne s’agit que d’une espérance mathématique qui veut dire tout simplement que l‘ évènement se produit en moyenne 1 fois par T années. Par exemple, si une crue QT vient de se produire, une autre de même intensité pourrait se produire juste après ou se produire après un temps lointain ou ne se produira plus. Il peut aussi arriver que plusieurs crues par ex. centennales se produisent en peu de temps ou qu‘ en plusieurs siècles ou millenaires aucune crue centennale ne se produise ! En résumé et sous forme de remarque importante: La période de retour T est utilisée en hydrologie statistique comme une mesure de la probabilité de dépassement, par ex. de la crue QT . Afin d´éviter toute confusion quant à son utilisation, il convient de retenir que, par exemple, le débit QT de période de retour T est le débit qui a 1chance sur T d´être dépassé ou atteint au cours d´une année. La période dereour serefère à une probabilité au dépassement et non à une probabilité au non-dépassement ! La courbe de fréquences cumulées croissantesest le graphe de la fonction de répartition F(x). La courbe de fréquences cumulées décroissantesest le graphe de la fonction au dépassement G(x) = 1- F(x) Diagrammes en bâtons: représentation graphiquede la distribution d´une variable quantitative discrète Histogramme: représentation graphique sous forme de rectangles de la distribution d´une variable quantitative continue après regroupement des données en classes. La largeur du rectangle est égale à l´intervalle (amplitude)de la classe et la hauteur l´effectif de la classe. De préférence, on construitl´histogramme avec des rectangles d´égale largeur (intervalle). Nous avonsvu (cf. Cours Hydrologie statistique – 3.A LMD HU) que f(x)= lim((ni/n)/dx)quand n tend vers ∞. Ainsi donc pour une population infinie l´histogramme et le polygone des fréquences tendent vers la courbe représentée par f(x) lorsque le nombre de classes tend vers n et dx tend vers 0 (Figure 1). Une variable aléatoire peut également être caractérisée par ses paramètres de position (moyenne, médiane, mode, …etc.) et ses paramètres de variabilité (coefficient de variation Cv comme rapport de l’écart-type à la moyenne, coefficient d’asymétrie ou dissymétrie Cs , variance- évent. écart-type, …etc.).  Figure 1. Histogramme (1), polygone (2) et courbe (3) des fréquences des totaux pluviométriques d´El Kseur. Les quantiles constituent une autre catégorie de paramètres pouvant caractériser la variable aléatoire. Les quantiles sont déduis de la fonction de la fonction quantile qui est la fonction inverse à la fonction de distribution F(x). Soit donc une fonction de distribution F(x) continue et croissante, soit α la probabilité au non-dépassement, telle que 0<α<1, alors la valeur xα, telle que F(xα)=α est appelée α-quantile de la distribution donnée quelconque de la v.a. X et elle est égale à xα=F-1(α) . Certains quantiles sont bien connus :
Pour des utilisations pratiques on utilise surtout certains quantiles caractéristiques de la distribution de la loi normale standardisée: |
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