Cours : probabilitéS
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Cours : PROBABILITÉS
Définition : Une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles ( succès noté S ou échec noté E ) est appelée : ________________________________________. La probabilité du succès est notée p , celle de l’échec est notée : q = _____________________.
Définition : Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire qui consiste à répéter _______________________ et de __________________________________ la même épreuve de Bernoulli. Exemple : Un archer sait qu’il a une probabilité de 0,7 d’atteindre la cible lorsqu’il tire une flèche. Il tire deux flèches. Expliquer pourquoi on est en présence d’un schéma de Bernoulli. Visualiser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
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Pour être sélectionné à un jeu télévisé, un candidat doit satisfaire à 2 tests dont les réalisations sont considérées comme des événements indépendants. La probabilité de satisfaire chaque test est p=0,2.
5. VARIABLE ALEATOIRE :
On appelle : ________________________________________définie sur Ω, toute fonction X de Ω dans ℝ. Exemple : On lance une pièce de monnaie 3 fois de suite et on note le nombre de « PILE » obtenu. Soit X la variable aléatoire qui à chaque expérience associe ce nombre. Quelles sont les valeurs prises par X ? : ______________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________sur l’ensemble des valeurs xi des valeurs prises par une variable aléatoire X c’est : _______________________ ______________________________________________ sa probabilité pi. On consigne ces résultats dans un tableau de valeurs. Exemple dans le cas précédent :
Comme la moyenne en statistiques, on définit, pour une variable x, une grandeur appelé ________________________________________________ par : E(X)=x1p1 + x2p2 +………+xnpn. Dans le cas précédent : _____________________________________________________________ de même , on peut définir la variance et l’écart type. 6.LOI BINOMIALE : 1)Définition : On considère une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du « succès » est p . On répète n fois cette épreuve de Bernoulli de façon identique et indépendante. Soit X la fonction qui, à chaque issue du schéma de Bernoulli, associe le nombre de succès obtenus. La variable aléatoire prend pour valeurs les entiers de 0 à n. On note : ____________________ l’événement : « On obtient k succès »et : P(X=k) la probabilité de cet événement. On dit que X suit : _______________________________________________ de paramètres n et p . Cette loi est notée : B (n ; p ) . 2)Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n ; p ). On appelle _____________________________________________________________et on note E(X)=np On appelle ___________________________________________et on note V(X) = np(1–p). On appelle ________________________________________ et on note ( X)=  .ATTENTION : Avant d’utiliser tous ces résultats , on doit JUSTIFIER que l’expérience aléatoire correspond bien à une loi binomiale. Méthode : Pour justifier qu’une expérience aléatoire correspond à une loi binomiale :
En première STI2D , on utilise une calculatrice ou un logiciel pour calculer directement P(X=k) et P(X k) EXEMPLE : T.P 1 page 292.   7. ECHANTILLONAGE ET LOI BINOMIALE : Exemple : sondage au sortir des urnes. lecture du livre 285. 1. Détermination d’un intervalle de fluctuation au seuil de 95% à l’aide de la loi binomiale : Propriété : Soit une population dans laquelle une proportion p d’individus possède un caractère C. On appelle X la fonction qui, à tout échantillon de taille n prélevé au hasard et avec remise, associe le nombre d’individus possédant le caractère C. Alors :
est un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence f (fréquence du caractère C dans l’échantillon de taille n) 2. Exemple : Une usine produit des tablettes numériques. Le directeur de l’usine affirme que seulement 6% de la production annuelle de tablettes numériques n’est pas conforme au cahier des charges. Le client prélève, de façon aléatoire un échantillon de 100 tablettes numériques. (On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un prélèvement au hasard et avec remise) A l’aide de la loi binomiale, déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence f correspondant aux tablettes défectueuses dans l’échantillon.
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On constate que : _________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________
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Le client prélève un échantillon et trouve 9 % de tablettes défectueuses, que peut-il en conclure ? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ |
tel que : 
