Programme de mathématiques de la classe de lettres et sciences sociales (B/L)

PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES DE LA CLASSE DE LETTRES ET SCIENCES SOCIALES (B/L) 1. Algèbre linéaire Les définitions d’un groupe et d’un corps (au sens de corps commutatif) seront données, à l’exclusion de toute théorie relative à ces notions. Le corps de base est R ou C. Les nombres complexes ne figurent pas dans ce programme pour eux-mêmes, mais comme outils. Sont à connaître les règles élémentaires de calcul, les notations Re(z), Im(z), |z|, , le module et l’argument d’un produit, l’inégalité triangulaire, la résolution de l’ équation du second degré à coefficients réels et de l’équation , l’affixe d’un point et d’un vecteur. Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels. Applications linéaires, noyau, image ; isomorphisme. Espaces vectoriels de dimension finie ; bases, rang d’une application linéaire ; somme directe de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires. Calcul matriciel Matrices à n lignes et p colonnes ; opérations sur les matrices ; matrice transposée. Matrices carrées d’ordre n ; groupe des matrices inversibles. Matrice d’une application linéaire ; effet d’un changement de base(s), matrices équivalentes, matrices semblables. Systèmes d’équations linéaires Les déterminants ne sont pas au programme. Systèmes de Cramer, lien avec le calcul de l’inverse d’une matrice carrée. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une matrice carrée. Méthode du pivot de Gauss appliquée aux questions suivantes : recherche d’une forme triangulaire, de l’inverse d’une matrice carrée, résolution d’un système de n équations linéaires à p inconnues. Valeurs propres et vecteurs propres Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme (ou d’une matrice carrée). Toute somme de sous-espaces propres est directe. Un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si l’espace est somme directe des sous-espaces propres. La notion de polynôme caractéristique n’est pas au programme ; la réduction des matrices à la forme triangulaire n’est pas au programme. 2. Analyse Suites et séries de nombres réels Énoncé des propriétés de R (admises). Suite de nombres réels. Suites monotones. Suites définies par une relation de récurrence. Convergence d’une série. Somme. Séries à termes positifs, comparaison de deux séries. Séries à termes réels. Convergence absolue. Continuité et dérivation Fonctions numériques d’une variable réelle. Notion de limite. Infiniment petits et infiniment grands. Théorèmes sur les limites. Continuité d’une fonction. Énoncé des propriétés des fonctions continues sur un intervalle (sans démonstration). Fonctions monotones. Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Notion de dérivée. Calcul des dérivées, dérivée d’une fonction composée, d’une fonction réciproque. Fonction dérivée, dérivées d’ordre supérieur. Théorème des accroissements finis. Sens de variation d’une fonction dérivable. Graphe. Fonctions usuelles Fonctions polynômes, fonctions rationnelles. La construction formelle des polynômes et fractions rationnelles n’est pas au programme, pas plus que les notions de PGCD, PPCM, polynômes premiers entre eux. Le théorème de d’Alembert est admis. Aucun résultat sur la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples n’est à connaître. Degré. Définition de la division euclidienne (résultats admis). Zéros (ou racines) d’un polynôme, divisibilité par X – a. Ordre de multiplicité d’un zéro. Décomposition d’un polynôme réel sur C et sur R (existence et unicité admises). Fonctions circulaires et circulaires réciproques. En dehors des formules, , , aucune formule de trigonométrie autre que celles résultant des symétries des fonctions cos, sin, tan n’est à mémoriser. Fonctions logarithmiques et exponentielles. Fonctions puissances. Fonctions, formules de Moivre et d’Euler. Comparaison pour x tendant vers l’infini, des fonctions . Intégration Définition et propriétés de l’intégrale d’une fonction continue, lien avec les primitives (la présentation n’est pas imposée : on peut admettre qu’une fonction continue possède une primitive). Inégalité de la moyenne. Intégration d’une fonction continue sur un intervalle non compact : convergence, convergence absolue. Calcul de primitives et d’intégrales. Changement de variables, intégration par parties. Exemples. Exercices simples d’intégration de fonctions (par exemple fonctions rationnelles, produit d’une exponentielle par un polynôme). Méthodes d’approximation Approximation locale des fonctions. Formule de Taylor – Young. Développements limités. Application à la recherche de limites. Comparaison d’une série et d’une intégrale. Séries de Riemann. Fonctions de plusieurs variables Fonctions numériques de plusieurs variables ; dérivées partielles (d’ordres un et deux) ; théorème de Schwarz. Différentielle. Fonctions homogènes ; théorème d’Euler. Conditions nécessaires (du premier ordre) pour un extremum libre. Extrema liés dans le cas d’une contrainte linéaire. 3. Probabilités et Statistiques Dans tout ce paragraphe, on mettra l’accent sur la correspondance entre le vocabulaire et les notions intuitives (probabilités, événements, variables aléatoires, indépendance), les exemples, les techniques de calcul et non sur la justification théorique des résultats. Fondements des probabilités On introduira le vocabulaire indispensable relatif aux ensembles : réunion, intersection, complémentaire, partition. Aucun exercice ou problème ne portera exclusivement sur ces notions. Analyse combinatoire Permutations, arrangements et combinaisons (sans répétition). Formule du binôme de Newton et triangle de Pascal. Probabilités discrètes Épreuve, ensemble des résultats de l’épreuve (univers), tribu (ou σ-algèbre) des événements : définition d’une probabilité, additivité. On se limitera au cas où les événements sont les parties de l’univers et l’on procédera par addition des probabilités des événements élémentaires. Probabilité conditionnelle Définition, propriété, formule, formule de Bayes. Indépendance de 2, de n événements. Variables aléatoires On n’insistera pas sur les aspects théoriques, l’important étant la maîtrise intuitive et opératoire du concept. Variables aléatoires discrètes On se limitera au cas où l’ensemble des valeurs est fini ou inclus dans Z. Loi de probabilité, fonction de répartition, définie par. Exemples : variable certaine, loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi de Poisson. Variables à densité Densité de probabilité, fonction de répartition. On se limitera au cas où la fonction de répartition est continue sur R et admet, sauf peut-être en un nombre fini de points, une dérivée continue. On étendra au cas des variables aléatoires à densité le langage et les résultats des paragraphes A) 2. et A) 3. Loi uniforme sur un segment, loi exponentielle, loi normale. L’égalité doit être connue des candidats sans qu’ils aient à la justifier. Paramètres de position et de dispersion Espérance, variance, écart-type. Couples de variables aléatoires discrètes Loi d’un couple : lois marginales, lois conditionnelles. Covariance. Couple de variables aléatoires indépendantes, variance de leur somme ; extension à n variables. Statistique descriptive élémentaire et statistique inférentielle Statistique descriptive élémentaire Échantillon de n observations d’une variable numérique. Description de la répartition des valeurs : diagrammes en bâtons, histogrammes. Paramètres de position : moyenne, médiane, quantiles. Paramètres de dispersion : variance, écart-type, écarts interquantiles. Statistique inférentielle Estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance. Notion d’estimateur : biais et variance d’un estimateur. Énoncé (sans démonstration) de la loi faible des grands nombres et du théorème de la limite centrée. Notion d’intervalle de confiance sur une moyenne et une proportion. (Le texte de ce programme est paru au B.O. n°27 du 29 juillet 1993)

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