Séance 5 : calcul littéral
I Expression littérale
Donner l’expression littérale d’une variable (par exemple exprimer A) ; c’est exprimer cette variable, seule d’un côté du signe égale, en fonction d’autres grandeurs sous la forme de lettres et/ou de nombres.
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Le signe « multiplié par » est soit un «  », soit un « . » soit rien quand cela ne prête pas à confusion. Par exemple a multiplié par Y s’écrit aY ou a.Y ou aY. Attention, les indices ne sont pas des multiplications. Par exemple mA est une seule variable et ne doit pas être confondu avec m.A .
Pour trouver l’expression de la variable désirée (c’est-à-dire une expression du type A = ……. où l’autre membre ne fait pas apparaître A), il convient d’appliquer les lois sur les nombres, en particulier les calculs de fraction, puissance, racine etc. afin d’isoler la variable voulue.
Quelques idées à avoir :
- éviter de faire apparaître trop de fois la variable désirée puisqu’on veut la voir apparaître qu’une fois à la fin, seule du côté gauche du signe « = »
- au contraire, tenter de la faire apparaître un nombre de fois le plus faible possible :
en regroupant tous les termes dans lesquels elle apparait du même côté du signe égale, et tous les autres de l’autre côté du signe égale
en la mettant en facteur dès que possible
- si elle apparaît à un dénominateur, mettre, à gauche et à droite du signe égale, les expressions sous la forme d’une seule fraction afin de les inverser par la suite pour retrouver la variable désirée au numérateur.
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Exercice 1 : exprimer x en fonction des autres variables. Par exemple : 2x + z = 5 − 4x donnera 2x + 4x = 5 – z donc, en mettant x en facteur et en divisant par 6,  .après quelques étapes de calculs à toujours indiquer.
a) 3x + 4 = 6a + b – ax c) 
b)  d) 
Exercice 2 : la loi des gaz parfaits relie 5 grandeurs et est la suivante : PV = nRT,
Ecrire chacune des variables V puis T en fonction des 4 autres.
Exercice 3 : La relation de Descartes pour les lentilles est la suivante : 
Exprimer p puis f’ puis p’ en fonction des deux autres variables.
Exercice 4 : la loi de gravitation universelle s’écrit 
Exprimer mA puis h (sachant que RT et h sont positifs) en fonction des autres variables.
II Remplacer des variables par des expressions et vice-et-versa
Parfois, on connait l’expression d’une 1ère variable en fonction d’une 2ème. Et on connait l’expression de cette 2ème variable en fonction d’une 3ème. Il peut être intéressant d’exprimer la 1ère variable en fonction de la 3ème variable. Il faut supprimer alors cette 2ème variable en la substituant, dans l’expression de la 1ère variable, par son expression en fonction de la 3ème puis arranger afin de trouver l’expression de la 1ère variable seule en fonction du reste.
Questions à se poser : Qui doit être exprimé ? en fonction de qui ? qui doit donc disparaitre ?
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Exemple (simple) : exprimer z en fonction de x sachant que  et 
Questions à se poser : Qui doit être exprimé ? z en fonction de qui ? x qui doit donc disparaitre ? y
Donc 
Exercice 5 : exprimer z en fonction de x (on exprimera d’abord z en fonction de y (et x éventuellement))
a) et  c)  et 
b)  et  d)  ,  et 
Exercice 6 :
1) Donner l'expression de la masse volumique ρ (en kg.L-1) d'un liquide dont un échantillon a une masse m et un volume V.
2) Sachant que la densité d d'un liquide vaut d =  où ρeau est la masse volumique de l'eau, exprimer la masse du liquide en fonction de sa densité.
3) La quantité de matière n d'un échantillon d’un certain liquide de masse m et de masse molaire M est donnée par la relation n =  . L'exprimer en fonction de la densité du liquide et du Volume de l’échantillon considéré
Exercice 7 :
1) Rappeler l'expression de la valeur de la force gravitationnelle FT/objet exercée par la Terre sur un objet de masse m, situé à l'altitude h (voir exo 4)
2) Le poids P de l'objet en fonction de l'intensité de la pesanteur g s’écrit P = m*g. En déduire l'expression de g en fonction de h.
Exercice 8 : exprimer A en fonction de B (en faisant disparaitre x) le plus rapidement possible : (on pourra, si on le juge vraiment nécessaire, d’abord exprimer x en fonction de B puis remplacer dans A) :
a) A = 6(3x-5)2- 5(3x-5) et B = 3x - 5
b)  et B = 3x – 5
c) A = -(17+(3x-5)2)5 – 5(3x-5)7 et B = 3x – 5
d) A = x et B = 3x − 5
e) A = x2 et B = 3x − 5
Les grosses bêtises à ne pas faire à l’issue de la séance 5 sur quelques exemples :
Ce sont principalement les mêmes que celles des deux séances précédentes. Par exemple écrire que  est une énorme erreur.
Faire des calculs trop longs en faisant apparaître la variable qu’on souhaite extraire de multiples fois.
Ne pas penser à factoriser
Ne pas penser à écrire que  afin d’isoler x par exemple
Ne pas avoir le réflexe, quand la variable se trouve au dénominateur, d’inverser APRES avoir mis une seule fraction de part et d’autre du signe égale. Par exemple dire que «  entraine que a-b = c » est une énorme erreur car à gauche du signe égal, on avait deux fractions et on n’a pas le droit d’inverser ainsi deux fractions (il faut d’abord mettre au même dénominateur).
A l’issue de la séance 5 :
Je maîtrise les calculs de base en remplaçant les nombres par des lettres et je n’ai pas à avoir peur
Je sais définir une expression littérale et je connais les techniques pour obtenir l’expression voulue
Je sais substituer dans une expression, une variable par une expression ou en reconnaître une
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