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Value at risk

Sources : Wikipédia, FiMarkets, Investopedia

Date de mise à jour : Aout 2011


1 Histoire 1

2 Définition 1

3 Principales caractéristiques 2

4 Bale II et Capital réglementaire 3

5 Méthodes de calculs 3

5.1 Var Paramétrique ou Approche variance covariance 3

5.1.1 Cas d'un seul actif 3

5.1.2 Cas de deux actifs 4

5.1.3 Extension au cas de N actifs 4

5.2 Var Historique 4

5.3 VaR MonteCarlo 5

5.4 Conclusion 6

6 Vérification du calcul de la VaR : Back-Testing 6

7 Représentation formelle 6

8 Limites et inconvénients de la VaR 7

9 Compléments d’informations 7



1Histoire


Cette notion est originaire du secteur de l'assurance. Elle a été importée à la fin des années 1980 sur les marchés financiers aux États-Unis par la banque Bankers Trust et popularisée par la banque JP Morgan en 1993 et son service (gratuit et public) Riskmetrics puis adoptée sous une forme embryonnaire par le Comité de Bâle (Bâle II) pour les banques et Solvabilité II pour les assurances.

2Définition


La VaR (de l'anglais value at risk, mot à mot : « valeur sous risque ») est une notion utilisée généralement pour mesurer le risque de marché d'un portefeuille d'instruments financiers. Elle correspond au montant de pertes qui ne devrait être dépassé qu'avec une probabilité donnée sur un horizon temporel donné.




La Value at Risk 10 % d'un portefeuille suivant une distribution normale
Pour calculer une VaR il est nécessaire de modéliser le portefeuille (et donc de faire des hypothèses). En particulier, cela suppose d'affecter une probabilité aux différentes évolutions possibles du portefeuille. La VaR est donc toujours conditionnelle à une modélisation d'un futur hypothétique qui possède nécessairement ses limites. Cette VaR peut être utilisée :


  • Pour le calcul du capital économique ;

  • Pour le suivi des risques de marché, à la fois en tant que reporting des risques et en tant qu'outil d'aide à la décision (pour allouer du capital à un "desk" par exemple) ;

  • Pour les exigences réglementaires (reporting réglementaire et exigences spécifiques).


La VaR répond à l'affirmation suivante : « Nous sommes certains, à X%, que nous n'allons pas perdre plus de V euros sur les N prochains jours ».
V correspond à la VaR, X% au seuil de confiance et N à l'horizon temporel.
Par exemple, la VaR au seuil de confiance de 99% à 1 jour, que l'on notera, VaR ( 99%, 1j ), égale à 1 million d'euros signifie qu'un jour sur cent en moyenne, le portefeuille est susceptible d'enregistrer une perte supérieure à cette somme de 1 million d'euros.
En considérant que les variations de valeur d'un portefeuille sont normales, la VaR peut être exprimée graphiquement, comme dans l'exemple ci-dessous :

Dans l'exemple ci-dessus, la Var(99%,1j) correspond approximativement à une perte de 2.33 millions d'euros et la VaR(95%, 1j) correspond à peu près à une perte de 1.65 million d'euros.
Remarque : l'espérance des variations est supposée nulle sur une journée.
La volatilité d'un actif est l'écart type des variations du prix de cet actif.

En considérant que les variations du portefeuille sont indépendantes d'un jour à l'autre : La volatilité est proportionnelle à .

Pratiquement, cela revient à dire que la Var( 99%, 10 j ) = * Var(99%, 1j ).
Généralement, c'est la VaR à 1 jour qui est calculée et la VaR à 10 jour est déduite par multiplication par .

3Principales caractéristiques


La VaR d'un portefeuille dépend essentiellement de trois paramètres :


  • la distribution des résultats des portefeuilles. Souvent cette distribution est supposée normale, mais beaucoup d'acteurs financiers utilisent des distributions historiques. La difficulté réside dans la taille de l'échantillon historique : s'il est trop petit, les probabilités de pertes élevées sont peu précises, et s'il est trop grand, la cohérence temporelle des résultats est perdue (on compare des résultats non comparables) ;

  • le niveau de confiance choisi (95 ou 99 % en général). C'est la probabilité que les pertes éventuelles du portefeuille ou de l'actif ne dépassent pas, par définition, la Value at Risk ;

  • l'horizon temporel choisi. Ce paramètre est très important car plus l'horizon est long plus les pertes peuvent être importantes. Par exemple, pour une distribution normale des rendements, il faut multiplier la Value at Risk à un jour par pour avoir la Value at Risk sur t jours.


D'une manière générale, la VaR donne une estimation des pertes qui ne devrait pas être dépassée sauf événement extrême sur un portefeuille pouvant être composé de différentes classes d'actifs.

4Bale II et Capital réglementaire


Bale II autorise les banques à déterminer leur capital nécessaire pour répondre au risque de marché par un modèle interne utilisant la VaR( 99%, 10j ).

Le capital réglementaire exigé vaut généralement 3 fois la VaR( 99%, 10j ).

3 méthodes principales sont utilisées pour calculer la VaR :


  • La méthode paramétrique ou approche variance-covariance

  • La méthode historique

  • La simulation de Monte Carlo.

5Méthodes de calculs

5.1Var Paramétrique ou Approche variance covariance


L'approche paramétrique essaie de définir une formule décrivant la distribution des gains/pertes.

Cette méthode se base sur plusieurs hypothèses :


  • Les variations des facteurs de risques suivent une loi normale.

  • La relation entre les variations de valeur du portefeuille et les variations des variables de marché est linéaire

  • Les produits dérivés Futurs, Swap… sont linéaires. Les obligations peuvent être ramenées à des payoffs linéaires. L'exception principale à cette condition étant les options.

5.1.1Cas d'un seul actif


1er Portefeuille

Un portefeuille de 5 Millions d'euros est constitué d'actions Renault, de volatilité annuelle 32%.

La volatilité quotidienne de est alors : = 2%. ( 2% où 252 est le nombre de jours de bourse dans l'année ).

La VaR au seuil 99% à une journée est alors ( 99%, 1j) = 5 000 000 * 2, 33 * = 233 000 euros.

(La loi normale indique qu'il y a 1% de chance d'avoir une variation supérieure à 2.33 écart types. La volatilité étant l'écart type des variations du cours de l'action ).

La VaR à 10 jours est alors  ( 99%, 10j) = * 233 000 = 736 811 euros.
2ème Portefeuille
Un portefeuille de 7 Millions d'euros est constitué d'actions Total, de volatilité quotidienne = 1%.

La VaR au seuil 99% à une journée est alors ( 99%, 1j) = 7 000 000 * 2, 33 * = 163 100 euros.

La VaR à 10 jour est alors  ( 99%, 10j) = * 163 100 = 515 767 euros

5.1.2Cas de deux actifs



--> Il faut tenir compte de la corrélation entre les deux actifs X et Y, c'est à dire du lien entre les variations de X et celles de Y.

Ex : Considérons le portefeuille formé en rassemblant les deux portefeuilles précédent et
Le Portefeuille résultant est constitué de 5M d'action Renault de volatilité quotidienne 2% et 7M d'action Total de volatilité quotidienne 1%. La corrélation entre les deux actifs est de 0.6.
=

(99%, 1j ) =

( 99%, 1j ) = 355 659 euros.
On peut remarquer que cette Var ( 99%, 1j ) est inférieure à la somme des deux Var ( 99%, 1j ) calculées précédemment (355 659 < 233 000 + 163 100). Ceci est dû aux gains de diversification.

5.1.3Extension au cas de N actifs



Cette logique peut être étendue pour le calcul d'un portefeuille constitué de N actifs. Les volatilités de chaque actif et les corrélations mutuelles entre deux actifs sont utilisées pour le calcul de la VaR.
Modèle linéaire et obligations : Cashflow Mapping
Cette méthode permet de décomposer une obligation en une série de flux de maturités usuelles. Par exemple, un remboursement à 0.9 ans peut être décomposé en deux remboursements, l'un a 6 mois et l'autre à 1 an. Après décomposition, il est possible de calculer la sensibilité de ce remboursement aux facteurs de risques utilisés : les taux 6 mois et un an.

5.2Var Historique


Il faut au préalable identifier les variables ou facteurs de risques significatifs dont l'évolution entraîne une variation de valeur du portefeuille.
Ces facteurs sont les taux d'intérêts, les taux de change, les prix des actions…
Des données sont collectées pour les facteurs de risques sur N jours écoulés, par exemple N= 250, ce qui conduit à 250 scénarios possibles pour la variation de ces variables entre aujourd'hui et demain.
Exemple :


 

Variable 1

Variable 2

..

Variable N

Jour 0

24.2

30.1




56

Jour 1

26.3

31




55.5

Jour 2

27.5

30.9




55.7

…..













Jour 249

28.3

32




54

Jour 250

27.9

31.9




54


Aujourd'hui correspond au jour 250 :
Pour établir le scénario 1, on calculera la variation de valeur du portefeuille en supposant une variation relative des facteurs de risque identique au jour 1. Valeur de la variable 1 : 27.9 * ( 26.3/24.2 ) = 30.3, de la variable 2 : 31.9 * (31/30.1) = 32.9 , … enfin de la variable N  : 54* (55.5/56)= 53.5.
Pour établir le scénario 2, on calculera la variation de valeur du portefeuille en supposant une variation relative des facteurs de risque identique au jour 2. Valeur de la variable 1 : 27.9 * ( 27.5/26.3 ) = 29.2, de la variable 2 : 31.9 * (30.9/31)=31.8 , … enfin de la variable N  : 54* (55.7/55.5)=54.2
Et ainsi de suite.

Pour établir le scénario 250, on calculera la variation de valeur du portefeuille en supposant une variation relative des facteurs de risque identique au jour 250. Valeur de la variable 1 : 27.9 * ( 27.9/28.3 ) = 27.5, de la variable 2 : 31.9 * (31.9/32)=31.8 , … enfin de la variable N  : 54* (54/54)= 54.
Les scénarios sont ensuite classés. On obtient ainsi la distribution de probabilité des variations de la valeur du portefeuille analysé.



Chaque jour, l'estimation de la VaR est actualisée en utilisant l'historique des 250 jours les plus récents.
La simulation historique permet d'estimer la distribution des variations du portefeuille à partir d'un nombre fini d'observation. En conséquence, la précision de la VaR ainsi obtenue n'est pas très bonne.

La précision de la VaR( 99%, 1j ) est moins bonne que celle de la VaR( 95%, 1j ).

5.3VaR MonteCarlo


La méthode utilisant la simulation de Monte Carlo est similaire à la méthode historique en ce sens qu'il s'agit d'une méthode de valorisation totale basée sur différents scénarios. Comme la méthode historique, la méthode Monte Carlo ne suppose pas que les variables de marché suivent une distribution normale.
Dans la méthode historique, les scénarios se sont déjà déroulés dans le passé. Avec la méthode Monte Carlo en revanche, les scénarios sont générés au hasard. Ils suivent une forme similaire à ceux ayant eu lieu dans le passé mais ils ne sont pas limités par l'histoire.
Chaque facteur de risque a une dynamique qui peut être modélisée avec un terme d'incertitude. En tenant compte des dynamiques de chaque facteur de risque ainsi que de leur corrélation, il est possible de générer des scénarios probables d'évolution collective de ces facteurs de risques.



L'inconvénient essentiel de la simulation de Monte Carlo est le temps de calcul nécessaire pour générer un grand nombre de scénarios.

5.4Conclusion


Complément au calcul de la VaR : Stress Testing. Etude des scénarios catastrophes.
Stress Testing se focalise plutôt sur un nombre restreints de scénarios extrêmes.
L'importance est de quantifier les conséquences de variations très fortes qui sont ignorées par les autres techniques en raison de leurs caractères très rares.
Exemple d'événement très rare : Le dix octobre 1987 le DOW JONES a baissé de plus de 20%.

6Vérification du calcul de la VaR : Back-Testing


Il est important de vérifier a posteriori si le calcul de la VaR est correct. La banque peut perdre de temps en temps, sur une journée, une somme supérieure à la Var( 99%, 1 j ). Cependant le nombre d'occurrence doit correspondre à peu près à 1% des cas mesurés.
Des pertes sur une journées supérieures à la Var( 95%, 1 j ) ne devraient pas arriver plus souvent qu'une fois tous les 20 jours et des pertes supérieures à la Var( 99%, 1 j ). plus de 3 fois par an.
Si le nombre d'occurrences ne correspond pas au nombre attendu, il faut revoir le modèle utilisé pour calculer la VaR : les variables de marchés ne sont probablement pas correctement choisies par exemple.

7Représentation formelle



La VaR est définie par rapport à un horizon de temps T et le seuil de confiance α (on parle par exemple de VaR 10 jours 95%). La VaR T jours à une confiance α peut être définie (de manière équivalente) comme :


  • La pire des pertes pouvant être constatée en T jours dans les α cas les plus favorables ;

  • La moins pire des pertes pouvant être constatée en T jours dans les 1-α autres cas;

  • Le montant au-delà duquel une perte survient en T jours avec une probabilité de 1-α ;

  • La 100*αe (par exemple 95) perte des 100 pertes possibles les plus favorables ;

  • La 100*(1-α)e (par exemple 5) perte des 100 pertes possibles les plus sévères ;

  • Le αe quantile de la distribution des pertes possibles en T jours ;

  • Le (1-α)e quantile de la distribution des gains possibles en T jours ;


Mathématiquement, la VaR est définie de manière implicite, à partir de la distribution du rendement de l'actif considéré sur la période considérée. Soit α un nombre entre 0 et 1, et soit r le rendement réalisé par l'actif. La VaR(α) est telle que: α = Pr(VaR < r). La VaR ainsi définie est la perte qui a une probabilité α d'être pire que le rendement du portefeuille ou de l'actif. Autrement dit c'est le quantile 1 − α de la distribution des rendements du portefeuille ou de l'actif.

8Limites et inconvénients de la VaR


Limite technique liée à la distribution de la perte qui n'est pas forcément normale, par exemple leptokurtique qui implique donc des évènements extrêmes plus fréquents que pour la loi normale.

9Compléments d’informations


Source : investopedia
Value at risk (VAR or sometimes VaR) has been called the "new science of risk management", but you do not need to be a scientist to use VAR. Here, in part 1 of this series, we look at the idea behind VAR and the three basic methods of calculating it. In Part 2, we apply these methods to calculating VAR for a single stock or investment.

The Idea behind VAR
The most popular and traditional measure of risk is volatility. The main problem with volatility, however, is that it does not care about the direction of an investment's movement: a stock can be volatile because it suddenly jumps higher. Of course, investors are not distressed by gains!  (See The Limits and Uses of Volatility.)

For investors, risk is about the odds of losing money, and VAR is based on that common-sense fact. By assuming investors care about the odds of a really big loss, VAR answers the question, "What is my worst-case scenario?" or "How much could I lose in a really bad month?"

Now let's get specific. A VAR statistic has three components: a time period, a confidence level and a loss amount (or loss percentage). Keep these three parts in mind as we give some examples of variations of the question that VAR answers:



  • What is the most I can - with a 95% or 99% level of confidence -  expect to lose in dollars over the next month?

  • What is the maximum percentage I can - with 95% or 99% confidence - expect to lose over the next year?


You can see how the "VAR question" has three elements: a relatively high level of confidence (typically either 95% or 99%), a time period (a day, a month or a year) and an estimate of investment loss (expressed either in dollar or percentage terms).

Methods of Calculating VAR
Institutional investors use VAR to evaluate portfolio risk, but in this introduction we will use it to evaluate the risk of a single index that trades like a stock: the Nasdaq 100 Index, which trades under the ticker QQQQ. The QQQQ is a very popular index of the largest non-financial stocks that trade on the Nasdaq exchange.

There are three methods of calculating VAR: the historical method, the variance-covariance method and the Monte Carlo simulation.

1. Historical Method
The historical method simply re-organizes actual historical returns, putting them in order from worst to best. It then assumes that history will repeat itself, from a risk perspective.

The QQQ started trading in Mar 1999, and if we calculate each daily return, we produce a rich data set of almost 1,400 points. Let's put them in a histogram that compares the frequency of return "buckets". For example, at the highest point of the histogram (the highest bar), there were more than 250 days when the daily return was between 0% and 1%. At the far right, you can barely see a tiny bar at 13%; it represents the one single day (in Jan 2000) within a period of five-plus years when the daily return for the QQQ was a stunning 12.4%!






Notice the red bars that compose the "left tail" of the histogram. These are the lowest 5% of daily returns (since the returns are ordered from left to right, the worst are always the "left tail"). The red bars run from daily losses of 4% to 8%. Because these are the worst 5% of all daily returns, we can say with 95% confidence that the worst daily loss will not exceed 4%. Put another way, we expect with 95% confidence that our gain will exceed -4%. That is VAR in a nutshell. Let's re-phrase the statistic into both percentage and dollar terms:



  • With 95% confidence, we expect that our worst daily loss will not exceed 4%.

  • If we invest $100, we are 95% confident that our worst daily loss will not exceed $4 ($100 x -4%).


You can see that VAR indeed allows for an outcome that is worse than a return of -4%. It does not express absolute certainty but instead makes a probabilistic estimate. If we want to increase our confidence, we need only to "move to the left" on the same histogram, to where the first two red bars, at -8% and -7% represent the worst 1% of daily returns:



  • With 99% confidence, we expect that the worst daily loss will not exceed 7%.

  • Or, if we invest $100, we are 99% confident that our worst daily loss will not exceed $7.


2. The Variance-Covariance Method
This method assumes that stock returns are normally distributed. In other words, it requires that we estimate only two factors - an expected (or average) return and a standard deviation - which allow us to plot a normal distribution curve. Here we plot the normal curve against the same actual return data:






The idea behind the variance-covariance is similar to the ideas behind the historical method - except that we use the familiar curve instead of actual data. The advantage of the normal curve is that we automatically know where the worst 5% and 1% lie on the curve. They are a function of our desired confidence and the standard deviation ():






The blue curve above is based on the actual daily standard deviation of the QQQ, which is 2.64%. The average daily return happened to be fairly close to zero, so we will assume an average return of zero for illustrative purposes. Here are the results of plugging the actual standard deviation into the formulas above:






3. Monte Carlo Simulation
The third method involves developing a model for future stock price returns and running multiple hypothetical trials through the model. A Monte Carlo simulation refers to any method that randomly generates trials, but by itself does not tell us anything about the underlying methodology.

For most users, a Monte Carlo simulation amounts to a "black box" generator of random outcomes. Without going into further details, we ran a Monte Carlo simulation on the QQQ based on its historical trading pattern. In our simulation, 100 trials were conducted. If we ran it again, we would get a different result--although it is highly likely that the differences would be narrow. Here is the result arranged into a histogram (please note that while the previous graphs have shown daily returns, this graph displays monthly returns):






To summarize, we ran 100 hypothetical trials of monthly returns for the QQQ. Among them, two outcomes were between -15% and -20%; and three were between -20% and 25%. That means the worst five outcomes (that is, the worst 5%) were less than -15%. The Monte Carlo simulation therefore leads to the following VAR-type conclusion: with 95% confidence, we do not expect to lose more than 15% during any given month.

Summary
Value at Risk (VAR) calculates the maximum loss expected (or worst case scenario) on an investment, over a given time period and given a specified degree of confidence. We looked at three methods commonly used to calculate VAR. But keep in mind that two of our methods calculated a daily VAR and the third method calculated monthly VAR.

Here we explain how to convert one value at risk (VAR) of one time period into the equivalent VAR for a different time period and show you how to use VAR to estimate the downside risk of a single stock investment.
 
Converting One Time Period to Another
In Part 1, we calculate VAR for the Nasdaq 100 index (ticker: QQQ) and establish that VAR answers a three-part question: "What is the worst loss that I can expect during a specified time period with a certain confidence level?"

Since the time period is a variable, different calculations may specify different time periods - there is no "correct" time period. Commercial banks, for example, typically calculate a daily VAR, asking themselves how much they can lose in a day; pension funds, on the other hand, often calculate a monthly VAR.

To recap briefly, let's look again at our calculations of three VARs in part 1 using three different methods for the same "QQQ" investment:



* We do not need a standard deviation for neither the historical method (because it just re-orders returns lowest-to-highest) or the Monte Carlo simulation (because it produces the final results for us).


Because of the time variable, users of VAR need to know how to convert one time period to another, and they can do so by relying on a classic idea in finance: the standard deviation of stock returns tends to increase with the square root of time. If the standard deviation of daily returns is 2.64% and there are 20 trading days in a month (T = 20), then the monthly standard deviation is represented by the following:






To "scale" the daily standard deviation to a monthly standard deviation, we multiply it not by 20 but by the square root of 20. Similarly, if we want to scale the daily standard deviation to an annual standard deviation, we multiply the daily standard deviation by the square root of 250 (assuming 250 trading days in a year). Had we calculated a monthly standard deviation (which would be done by using month-to-month returns), we could convert to an annual standard deviation by multiplying the monthly standard deviation by the square root of 12.

Applying a VAR Method to a Single Stock
Both the historical and Monte Carlo simulation methods have their advocates; but the historical method requires crunching historical data, and the Monte Carlo simulation method is complex. The easiest method is variance-covariance.

Below we incorporate the time-conversion element into the variance-covariance method for a single stock (or single investment):






Now let's apply these formulas to the QQQ. Recall that the daily standard deviation for the QQQ since inception is 2.64%. But we want to calculate a monthly VAR, and assuming 20 trading days in a month, we multiply by the square root of 20:




* Important Note: These worst losses (-19.5% and -27.5%) are losses below the expected or average return. In this case, we keep it simple by assuming the daily expected return is zero. We rounded down, so the worst loss is also the net loss.


So, with the variance-covariance method, we can say with 95% confidence that we will not lose more than 19.5% in any given month. The QQQ clearly is not the most conservative investment! You may note, however, that the above result is different from the one we got under the Monte Carlo simulation, which said our maximum monthly loss would be 15% (under the same 95% confidence level).

Conclusion
Value at risk is a special type of downside risk measure. Rather than produce a single statistic or express absolute certainty, it makes a probabilistic estimate. With a given confidence level, it asks, "What is our maximum expected loss over a specified time period?" There are three methods by which VAR can be calculated: the historical simulation, the variance-covariance method and the Monte Carlo simulation.

The variance-covariance method is easiest because you need to estimate only two factors: average return and standard deviation. However, it assumes returns are well-behaved according to the symmetrical normal curve and that historical patterns will repeat into the future.

The historical simulation improves on the accuracy of the VAR calculation, but requires more computational data; it also assumes that "past is prologue". The Monte Carlo simulation is complex, but has the advantage of allowing users to tailor ideas about future patterns that depart from historical patterns.


Read more: http://www.investopedia.com/articles/04/101304.asp#ixzz1TxS4NQjC

Read more: http://www.investopedia.com/articles/04/092904.asp#ixzz1TxR403yx

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