Un gaz parfait pour lequel C

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titre	Un gaz parfait pour lequel C
date de publication	25.12.2016
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Exercice 1 :

Un gaz parfait pour lequel C_v = (5/2)R est pris dans les conditions du point a dans la figure ci-contre. On lui fait décrire le chemin ab de 3 manières différentes :

le trajet acb ;
le trajet adb ;
le trajet ab directement. On pose : P₂= 2P₁ et V₂ = 2V₁.

1) Déterminer la quantité de chaleur et le travail fournis au gaz par mole, dans chacun des 3 processus. Donner les réponses en fonction de R et T₁.

2) Calculer l'énergie interne totale fournie au cours du cycle.

1) Travaux et chaleurs échangés au cours des trajets acb, adb, et ab direct.

Transformation isochore : W = 0 et Q =∫ Cv dT

Transformation isobare : W = 0 et Q =∫ Cp dT

R = Cp – Cv (relation de Mayer) et ici Cv = (5 /2) R = 2,5 R

Et par exemple W_{db= -}W_bd

i) Calcul du travail W et de la quantité de chaleur Q fournis au cours du trajet acb :

Du point a au point c, il y a une compression isochore donc :W_ac = 0 et Q_ac = 2,5 nRT₁
Du point c au point b, il y a une dilatation isobare donc : W_cb = - 2 nRT₁ et Q_cb = 7 nRT₁
Le travail fourni au cours du trajet acb est :W_acb = - 2 nRT₁
La quantité de chaleur fournie au cours du trajet acb est : Q_acb = 9,5 nRT₁

ii) Calcul du travail W et de la quantité de chaleur Q fournis au cours du trajet adb :

Du point a au point d, il y a une dilatation isobare donc : W_ad = - nRT₁ et Q_ad = 3,5 nRT₁
Du point d au point b, il y a une compression isochore donc : W_db= 0 et Q_db = 5nRT₁
Le travail fourni au cours du trajet adb est : W_adb = - nRT₁
La quantité de chaleur fournie au cours du trajet adb est : Q_adb = 8,5 nRT₁

iii) Calcul du travail W et de la quantité de chaleur Q fournis au cours du trajet ab : (un peu compliqué ! )

D'après la Loi de Joule, D U_ab= nC_v(T_b-T_a)
Or C_v = 2,5R, T_b = 4T₁ et T_a= T₁ donc D U_ab = 2,5nR (4T₁-T₁) = 7,5nRT₁
D'après le premier principe de la thermodynamique, D U_ab= W_ab+Q_ab
W_ab= D U_ab - Q_ab ; W_ab = - ∫_a^b PdV
La droite (0ab) a pour équation P = V ; donc W_ab =- ∫_a^b VdV = [V²/2]_a^b = V_a²/2 -V_b²/2 = V₁²/2 -V₂²/2.
Comme V₂ = 2V₁ alors W_ab = V₁²/2 - 4V₁²/2 = 3V₁²/2 = 1,5nRT₁
Q_ab= D U_ab -W_ab = 7,5 nRT₁+ 1,5 nRT₁ = 9nRT₁

2 ) Calcul de l'énergie interne totale fournie au cours du cycle :

 U_acbda = somme des Q et des W = 0.

Exercice 2 :

On fait subir à une mole de gaz parfait, initialement dans l'état (P₀, V₀, T₀), les transformations successives suivantes (toutes réversibles) :

Transformation adiabatique amenant le gaz dans l'état (V₁ = (V₀/3), P₁, T₁).
Transformation à volume constant amenant le gaz de l'état (P₁, V₁, T₁) à l'état (V₂ = V₁, P₂, T₂ = T₀).
Transformation isotherme qui ramène de l'état (P₂, V₂, T₂) à l'état initial.

1) Représenter dans un diagramme (P, V) le cycle décrit par le gaz.

2) Déterminer T₁, P₁, P₂ en fonction de T₀, P₀, γ= Cp/Cv. Préciser si T₁ est supérieure ou inférieure à T₀. (hors programme)

1) Coordonnées de départ :

A (P₀, V₀, T₀) -- [compression adiabatique]--> B (P₁, V₁ = V₀/3, T₁)
B (P₁, V₁ = V₀/3, T₁) --[détente isochore]--->C (P₂, V₂ = V₁, T₂ = T₀)
C (P₂, V₂ = V₁, T₂ = T₀) --[détente isotherme]--->A (P₀, V₀, T₀)
A partir des coordonnées des points A, B et C on trace le diagramme (P, V) suivant :

2) Hors programme :

Les points A et B sont sur la même adiabatique : donc P₀V₀ ^γ = P₁V₁ ^γ

P₁ = P₀₍V₀/V₁) ^γ; or V₁ = V₀/3 donc P₁ = 3^vP₀
De plus T₀V₀ ^γ^-1 = T₁V₁ ^γ^-1 ; donc : T₁ = T₀(V₀/V₁) ^γ^-1
Or V₁ = V₀/3 ; donc T₁ = 3 ^{γ -1}T₀
D’après la relation de Mayer : C_p- C_v= R donc γ = C_p/C_v > 0, γ -1 > 0 et donc T₁ > T₀
Les points C et A étant sur la même isotherme : PV = Cte ; donc : P₂.V₁ = P₀.V₀ ; soit : P₂ = P₀(V₀/V₁)
Comme : V₁ = V₀/3 , il vient : P₂ = 3P₀

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