Solution : Soit 2x représente un nombre pair








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Révision de Fondements de mathématiques 110
Chapitre 1 – La raisonnement inductif


  1. Le raisonnement inductif->La formulation d’une conclusion générale par l’observation de régularités et par l’identification de propriétés dans des exemples précis.

Par exemple :


  1. Le raisonnement déductif : raisonnement logique qui mène à une conclusion précise.

Par exemple : Utilise le raisonnement déductif pour prouver que la différence entre des carrés parfaits consécutifs est toujours un nombre impair.

Solution : Soit 2x – représente un nombre pair

2x+1 – représente un nombre impair.
(2x+1)2- (2x)2= (4x2+4x+1)-(4x)2

= 4x +1

Explication : Deux fois n’importe quel nombre est toujours pair 2(2x) mais si on ajoute 1, le résultat devient impaire.


  1. Les contre-exemples : un exemple qui réfute une conjecture. (section 1.3)




  1. Les preuves qui ne sont pas valide : ce sont des preuves qui ne sont pas sensé parce qu’on a par exemple divisé par zéro (ce qui n’est jamais permis). (section 1.5 p. 37)


Chapitre 2 – Propriétés des angles et des triangles




3. Les angles particuliers :












4. Les preuves (Il y en a sur l’examen alors pratique!! P.75 – a la fin du chapitre…)

Un côté d’une tour de télécommunications sera construit comme ci-dessous. À l’aide des mesures d’angle,

prouve que les étais CG, BF et AE sont parallèles.

Prouve que : CG, BF et AE sont parallèles

Solution :






5. Trouve la mesure des angles. Par exemple;


6. La somme des angles intérieure dans un polygone convexe régulier = 180̊ (n-2) ou n est le

nombre de cotés dans le polygone.

Par exemple; Détermine la somme des angles intérieurs dans un pentadécagone (15 cotés)

régulier

Solution : S= 180̊(15-2)

= 2340̊

7. La mesure de chaque angle intérieur d’un polygone régulier est;

S=
Par exemple; Calcule la mesure de chaque angle intérieur d’un pentadécagone régulier.

= 156̊

8. La mesure des angles extérieurs d’un polynôme;

Par exemple; Détermine la mesure d’un angle extérieur d’un pentagone. M= 360/5=72̊
Chapitre 3 et 4 – La trigonométrie


  1. Le théorème de Pythagore c2=a2+b2 A

2. Les rapports trigonométriques primaires. (pour un triangle rectangle)

SinΘ=opp cosΘ=adj tgΘ=opp opp hyp

hyp hyp adj

C adj B

  1. L’angle d’élévation : C’est l’angle qui est formée entre l’horizon et la ligne de visée en

regardant par en haut.

4. L’angle de dépression : C’est l’angle qui est formée entre l’horizon et la ligne de visée en

regardant par en bas.

5. La loi des sinus a = b = c

sinA sinB sinC

4. La loi des cosinus coté ou angle

a2=b2+c2-2bcCosA ou CosA=b2+c2-a2

2bc
b2=a2+c2-2acCosB ou CosB = a2+c2-b2

2ac
c2=a2+b2-2abCosC ou CosC = a2+b2-c2

2ab

5. Résoudre un triangle veut dire trouver la mesure de tous les angles et côtés.
6. La somme des angles dans un triangle est 180°
7. Il faut savoir quand utiliser la loi de sinus et quand utiliser la loi de cosinus….


Chapitre 5 – Les inéquations

1. Tracer le graphique d’une inéquation linéaire;



2. Résoudre des systèmes d’équations linéaires :



3. Le point d’intersection d’un système d’équation – c’est la solution ou les équations partage un

point en commun. Parfois on peut identifier le point sur un graphique et algébriquement.

Dans l’exemple de côté le point de partage est

(-1,5;3) mais ce n’est pas une solution parce que qu’aucun des points sur la ligne pointillé de

3x + 2y> -6 n’est inclus dans sa région solution.


4. Détermine le point d’intersection d’un système d’équation algébriquement (par substitution ou

élimination).

Solution : J’utilise les équations 3x+y=7 et 2x – y=3






5. Les problèmes d’optimisation :
Un fabricant de jouets produit deux sortes de voitures miniatures : des automobiles de course et des véhicules utilitaires.

• Parce que l’approvisionnement en matériaux est limité, le fabricant ne peut pas produire plus

de 40 automobiles de course et 60 véhicules utilitaires par jour.

• Pourtant, l’entreprise peut fabriquer 70 véhicules ou plus au total chaque jour.

• La fabrication d’une automobile de course coûte 8 $ et celle d’un véhicule utilitaire, 12 $.

Il y a plusieurs combinaisons possibles d’automobiles de course et de véhicules utilitaires. Le fabricant veut connaître les combinaisons produisant les coûts minimum et maximum, ainsi que ces coûts.

Question :

Quelles combinaisons des deux sortes de voitures expriment un coût de production minimum et un coût de production maximum et quels sont ces coûts?
Solution :

Détermine les restrictions et les contraintes;

Soit u, les véhicules utilitaires.

Soit c, les automobiles de course.

Restrictions : Contraintes :



Détermine la fonction économique :

Fonction économique à optimiser, à 12 $ par véhicule utilitaire et 8 $ par automobile

de course : C= 12u + 8c ou C est le coût total de production.


Trace le graphique :


Détermine algébriquement ou a l’aide du graphique, les points d’intersection qui sont situés au sommet de la région d’intersection.
Soit (30, 40)

(60, 40)

(60, 10)

Détermine les solutions qui optimiseront la fonction économique.

Optimise : C= 12u + 8c


Le fabricant peut minimiser le coût de production à 680 $ en produisant 30 véhicules utilitaires et 40 automobiles de course et le maximiser à 1040 $ en produisant

60 véhicules utilitaires et 40 automobiles de course.
Vérification du minimum, (30, 40) :



Vérification du maximum (60, 40) :



Chapitre 6 – Fonctions et équation quadratiques
1. La forme générale d’une fonction quadratique est y=ax2+bx+c
Si « a » est positif, la parabole ouvre vers la haut. Si « a » est négatif, la parabole ouvre vers le bas.

y=x2 y=-x2
Le plus petit la valeur de « a » ~ le plus large le graphique. Le plus grand la valeur de « a » ~ le plus mince le graphique.



La valeur de « b » modifie l’axe de symétrie.
Par exemple : y= x2 + 6x ou y= x2 – 8x



La valeur de « c » est l’ordonnée à l’ origine.
Par exemple : y=x2 + 5 ou y= x2-3x-2



3. L’ordonne à l’origine est la valeur de « c » dans une équations quadratique y=ax2+bx+c

On peut le calculer en substituant x=0 dans l’équation ou ;

Par exemple : Trouve l’ordonnée à l’ origine de la parabole y=2(x+1)(x+6)

y =2(0)2+14(0)+12 ou c = a x r x s

y = 0+0+12- c = 2 x -1 x -6

y = 12 c = 12

4. L’équation de l’axe de symétrie – une droite verticale qui coupe la parabole en deux parties

symétriques. On peut calculer l’équation de l’axe de symétrie à l’aide les formules ci-dessous;

ou

Exemple 1 :

a) Détermine l’équation de l’axe de symétrie de la parabole.

b) Détermine les coordonnées du sommet de la parabole.

c) Indique le domaine et l’image de la fonction.

Solution :

a) L’équation de l’axe de symétrie est; , x=4

b) Le sommet est (4, -16)

c) Le domaine et l’image est
Exemple 2 : Les points (-1, 4) et (7, 4) sont situés sur une parabole. Détermine l’équation de l’axe de symétrie cette chaque parabole.

x=3
Exemple 3 : Soit l’équation quadratique défini par y=-3x2+12x-8

a) Détermine l’équation de l’axe de symétrie

b) Détermine la valeur maximum. y = -3(2)2+12(2)-8 = 4 Max y=4

c) Détermine le sommet S(2,4)

d) Indique l’image dans ce contexte.
5. Résoudre une équation veut dire trouver le(s) valeur(s) de x quand y=0.

  • Résoudre l’équation

  • T
    Synonymes
    rouver les abscisses a l’origine

  • Trouve les zéros de la fonction

  • Trouve les racines des fonctions

Il y a trois résultats possibles quand tu résous une équation.

Deux racines Une racine Aucune racine réelle

b2-4ac >0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
***On a étudié 4 méthodes pour résoudre les équations quadratique****
Méthode 1: La calculatrice graphique (2nd trace zéro) Left bound right bound etc…
Méthode 2: La forme d’un produit de facteurs y=a(x-r)(x-s)
Exemple : Détermine les zéros de la fonction y= 2x2 + 14x + 12 en écrivant l’équation dans la forme de produit de facteurs.

Solution :  y= 2x2 + 14x + 12

Y=2(x2 + 7x + 6)

Y= 2(x+1)(x+6) Les abscisses sont x=-1 et x=-6

Méthode 3: la formule quadratique Par exemple :


6. Tracer un graphique à l’aide de la forme factorisé y=a(x-r)(x-s)

Exemple 1 : y= 2x2 + 14x + 12


  1. Écris l’équation quadratique dans la forme d’un produit de facteurs y=a(x-r)(x-s) pour déterminer les abscisses à l’ origine (y=0).

Y=2(x2 + 7x + 6)

Y= 2(x+1)(x+6)

Les abscisses sont : x=-1 et x=-6


  1. Détermine l’équation de l’axe de symétrie. , ou “r” et “s” sont les abscisses.






  1. Substitue la valeur de x dans l’équation pour déterminer la valeur de y dans le sommet. (x,y) y = 2x2 + 14x + 12

=2(-3,5)2+14(-3.5)+12

= -12,5

Sommet (-3,5 ; -12,5)


  1. Trouve l’ordonnée à l’ origine de la parabole (substitue x=0 dans l’équation) ou ;) y =2(0)2+14(0)+12 ou c = a x r x s

y = 0+0+12 c = 2 x -1 x -6

y = 12 c = 12
5. Trace le graphique de y = 2x2 + 14x + 12



7. Trace un graphique à l’aide de la factorisation partielle
Esquisse le graphique de la fonction quadratique suivante et indique le domaine et l’image.

y = -x2 + 6x + 10


  1. Utilise la méthode de factorisation partielle pour déterminer deux points qui sont équidistant de l’axe de symétrie.

Y= -x(x-6)+10

-x=0 et x-6 = 0

x=0 x=6

Point A (0, 10) et point B(6, 10)


  1. Utilise ces deux points pour déterminer l’équation de l’axe de symétrie.






  1. Détermine le sommet de la parabole.

Y = -(3)2+6(3)+10

Y= -9 +18 + 10

Y= 19

Sommet (3, 19)


  1. Trace le graphique et écris le domaine et image.


8. Détermine l’équation d’une fonction quadratique d’après un graphique donné.
a) Ecris l’equation qui defini cette parabole sous la forme generale y=ax2+bx+c.

Commence a l’aide de la forme d’un produit de

facteur ; y=a(x-r)(x-s)

Substitue r=-1 et s=4 et choisi un point ex (0, 12)

X=0 et y=12

Trouve « a » 12 = a(0+1)(0-4)

12 = a (1)(4)

12 = 4a

a=3

y=3(x+1)(x-4)

9. Résoudre les problèmes écrits des fonctions quadratiques.

Par exemple;

Un joueur de base-ball lance une balle dont la trajectoire est définie par l’équation ;

h(t) = 9,8t + 1,1 – 4,9t2, tel que h représente la hauteur atteinte, en mètres, et t le

temps requis, en secondes.

    1. De quelle hauteur est-ce que la balle est lancée? __1,1 m__

    2. Quelle est la hauteur maximale qu’atteindra la balle? _6 m_____

    3. A quel temps est-ce que la balle atteinte sa hauteur maximale? _t = 1 sec_

    4. Quelle est la hauteur après deux secondes? __h=1.1 m_

    5. Quand est-ce que la balle tombe par terre? _2,1 sec___



Chapitres 8 et 9 – Les finances

1. Intérêts simple ou

Intérêt (I) – Montant d’argent gagné sur un placement ou payé sur un emprunt.

Capital (C) – Montant d’argent original placé ou emprunté.

Taux (t) – Taux d’intérêt dont on garantit qu’il ne changera pas durant toute la durée d’un placement ou

d’un emprunt.

La durée(d) – Temps, établi par contrat, pendant lequel un placement ou un emprunt est en vigueur.
La valeur capitalisée (M) – Montant d’un placement à la fin d’une période donnée.
La valeur actualisée (C) – Montant initiale d’un placement.

Taux de rendement - Rapport des revenus (ou des pertes) tirés d’un placement à l’argent placé. Le taux de

rendement est habituellement exprimé par un pourcentage ou un nombre décimal.







Fréquence de

l’intérêt composé

Nombre de périodes de

d’intérêt par ans

A

annuellement

1

B

semestriellement

2

C

Mensuellement

12

D

Trimestriellement

4

E

Hebdomadairement

52

F

Quotidiennement

365

2. Intérêt composée

La valeur capitalisée (M) – Montant d’un placement à la fin d’une période donnée.

ou

N = # d’années x # de périodes composée par an
La valeur actualisé (Capital - C) -> Montant qui doit être placé maintenant pour atteindre

une valeur capitalisée précise après un certain temps et selon un taux d’intérêt donné.



3. Les versements réguliers à l’aide du TVM solver :




C/Y – le nombre fois que l’intérêt est composé

P/Y – le nombre de versements qu’on veut faire par

an

3. Les formules qui servent dans des cas de placements servent aussi pour des emprunts à

versement unique à l’échéance.

- Pour un emprunt dont le taux d’intérêt est simple, M = C+Ctd ou M= C (1 + td ).

- Pour un emprunt dont le taux d’intérêt est composé, M = C (1 + i )n
4. La règle de 72 – Une estimation pour déterminer combien d’années que ça va prendre pour doubler ton investissement.

Par exemple; Si on investit 4000$ a un taux de 8% composé mensuellement, quand est-ce qu’on va avoir 8000$? 72/8 =9 ans.

5. Une portefeuille : Un ou plusieurs placements détenus par un épargnant ou une épargnante,

ou par une organisation financière.

Par exemple;

Philippa a commencé à bâtir un portefeuille en vue de sa retraite.

• À la fin de chaque année pendant 10 ans, elle a acheté 500 $ d’obligations d’épargne du Canada (OEC). Les 5 premières OEC avaient un taux d’intérêt fixe de 4,2 % composé annuellement. Les 5 OEC suivantes avaient un taux d’intérêt fixe de 4,6 % composé annuellement.

• Il y a 3 ans, elle a aussi acheté un CPG de 4 000 $ générant 6 % d’intérêts

composés mensuellement.

a) Quelle est la valeur du portefeuille de Philippa 10 ans après ses premiers

placements ?

b) Philippa a trouvé un compte d’épargne qui offrait 4,9 % d’intérêts

composés semestriellement. Elle a encaissé son portefeuille et elle a placé

tout l’argent dans le compte d’épargne. Combien de temps faudra-t-il,

approximativement, pour qu’elle ait deux fois plus d’argent ?

Solution :








6. Un tableau d’amortissement est un calendrier des versements pour un emprunt à versements

réguliers.

7. Achat, location ou crédit-bail

Toute situation de location, d’achat (avec ou sans financement) ou de crédit-bail est unique. Une analyse coûts-avantages devrait tenir compte de tous les aspects d’une situation.

- Parmi les coûts, il y a les coûts initiaux et les commissions, les coûts à court terme ou à long

terme, le revenu disponible, le coût du financement, la dépréciation et l’appréciation, les

pénalités de rupture de contrat et la valeur nette réelle.

- Au nombre des avantages, il y a la commodité, l’investissement personnel, la souplesse et les

nécessités ou exigences personnelles (comme la fréquence d’achat d’une nouvelle auto).

• Chaque situation étant unique, il est impossible d’établir, de façon générale, si la location, le

crédit-bail ou l’achat est la meilleure solution.
Par exemple;

Une paysagiste a besoin d’un petit tracteur du mois de mars au mois de novembre.

a) Prédis si la paysagiste devrait louer cette machine, l’acheter ou la louer à crédit-bail, compte tenu des coûts décrits ci-dessous. Justifie ta prédiction.

• Un tracteur neuf coûte 18 600 $ et peut être financé à un taux d’intérêt de 5,6 % composé

mensuellement pour une durée de 9 mois.

• Louer un tracteur coûte 60 $ par jour.

• Pour le crédit-bail, il faut verser un acompte de 2 000 $ et faire 9 versements mensuels de

1345 $.

b) Vérifie ta prédiction.

c) Quels facteurs pourraient faire de la location la meilleure option ?

Explique ta réponse.

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