Nouvelle méthode de perturbation pour l’analyse stochastique des systèmes dynamiques Driss SARSRI, AbdelKhalak ELHAMI*, Abdellah JABBOURI**
Faculté des sciences et techniques de Tanger Maroc,
E-mail sarsri@caramail.com
*Institut national des sciences appliquées de Rouen France
**Ecole national des sciences appliquées de Tanger Maroc
RÉSUMÉ
Pour calculer les deux premiers moments des valeurs et vecteurs propres dans un problème de vibration à paramètres incertains on peut utiliser la méthode de perturbation classique qui utilise le développement en série de Taylor à l’ordre deux. Une méthode nouvelle qui utilisera simplement un développement à l’ordre un sera proposée.
On va faire un rappel de la méthode de perturbation classique de second ordre, puis on va développer la nouvelle méthode.
On va faire après une application de cette méthode sur un système masses-ressorts puis sur une poutre en vibration de flexion pour voir l’intérêt de cette nouvelle méthode
MOTS-CLÉS
Perturbation, stochastique, modes propres, moments de second ordre
1 INTRODUCTION
Le calcul des propriétés des paramètres modaux est très important pour la connaissance du comportement dynamique d’une structure ce calcul suppose en général suppose en général que les paramètres du modèle utilisé sont déterministes (propriétés du matériau, actions appliquées, conditions aux limites…) alors que dans la réalité ces paramètres sont incertains. Pour évaluer la variabilité des modes propres vis à vis les variabilités des paramètres incertains du modèle, une simulation directe de Monte Carlo [1] peut être utilisée, cette méthode est utilisée souvent comme référence pour les calculs, néanmoins la quantité de calculs mise en œuvre se révèle souvent prohibitive pour l’emploi de cette méthode. La méthode de perturbation initiée par Hien et Kleiber [2] est utilisé par Muscolino [3] pour déterminer la réponse stochastique d’une structure à une excitation déterministe, cette méthode est basée sur le développement en série de Taylor de la réponse autour des valeurs moyennes des variables aléatoires permet de calculer directement les moyennes et écarts types des solutions, les variables doivent avoir une faible dispersion, ce développement sera utilisé pour calculer les deux premiers moments des modes propres. On peut envisager une autre forme de développement des solutions sous formes de polynômes orthogonaux [1].aléatoire.
2 METHODE DE PERTURBATION CLASSIQUE
Le problème correspondant au calcul des pulsations et modes propres dans un problème de vibration peut se mettre :
[K] et [M] sont fonctions de vecteur des variables aléatoires.
On définit le vecteur des paramètres moyens , et la quantité  (i=1,…, N)
On adopte pour simplifier la notation suivante pour les dérivées d’une quantité A :
  
En utilisant le développement en série de Taylor d’une quantité A peut s’écrire :
On introduit le développement des différentes quantités dans l’équation de départ, et on regroupe les termes de même ordre
2.1 Valeurs et vecteurs propres d’ordre zéro
Ils sont obtenus à partir de la résolution de l’équation d’ordre 0 aux valeurs propres :
Pour les ordres 1 et 2 on simplifie les problèmes en intégrant les équations d’ordre 1 et 2 après les avoir multipliées par la densité de probabilité conjointe de α
2.2 Valeur propre de premier ordre
 (i=1,…,N)
On a alors N systèmes à résoudre pour l’ordre 1
2.3 Valeur propre de deuxième ordre
La valeur propre de deuxième ordre est définie comme la double somme de la dérivée partielle d’ordre 2 multipliée par la covariance des variables aléatoires
On a un seul système pour l’ordre 2
Les dérivées des vecteurs propres aléatoires sont exprimées comme combinaison linéaire des vecteurs propres du système d’origine (déterministe). On forme alors les équations donnant les coefficients de cette combinaison linéaire en utilisant les conditions d’orthogonalité par rapport aux matrice K et M.
2.4 Vecteur propre de premier ordre :
Avec :  
Et : 
Où : 
De la même façon, on trouve pour la dérivée d’ordre 2 des vecteurs propres.
2.5 Vecteur propre de deuxième ordre
Avec :  
Et :  ou :
Les moyennes et les variances des valeurs propres et des vecteurs propres sont calculées comme le suivant :
Valeur moyenne des valeurs propres :
Variance des valeurs propres :
Valeur moyenne des valeurs propres :
Variance des vecteurs propres :
3. NOUVELLE METHODE :
On suppose dans cette méthode que les paramètres aléatoires sont non corrélés
Dans cette méthode on utilisera le développement suivant pour une quantité A :
Dans ce développement :
Avec :  et 
Et :
E : représente la variance la variance des variables aléatoires α
Comme dans la méthode classique on introduit le développement des différentes quantités dans l’équation de départ, et on regroupe les termes de même ordre
3.1 Equation d’ordre 0 :
Les Moyennes des valeurs et vecteurs propres sont obtenus directement à partir de la résolution de cette équation:
3.2 Valeur propre de premier ordre
On a alors N systèmes à résoudre pour l’ordre 1
Dans ce cas les dérivées des vecteurs propres aléatoires sont exprimées comme combinaison linéaire des vecteurs propres du système d’ordre 0 On forme alors les équations donnant les coefficients de cette combinaison linéaire en utilisant les conditions d’orthogonalité par rapport aux matrice K et M.
3.3 Vecteur propre de premier ordre
Avec : 
Et : 
Où : 
Les moyennes et les variances des valeurs propres et des vecteurs propres dans ce cas sont calculée par :
Valeur moyenne des valeurs propres :
Variance des valeurs propres :
Valeur moyenne des valeurs propres :
Variance des vecteurs propres :
4 APPLICATION
Nous appliquerons la méthode de perturbation classique et la nouvelle méthode pour calculer les deux premiers moments (moyenne et variance) des valeurs propres et vecteurs propres, nous faisons la comparaison par rapport à un calcul de référence obtenu à partir d’un simulation de Monte Carlo à 1000 tirages.
4.1 Analyse stochastique d’un système masses-ressorts
On considère l’ensemble constitué de 20 masses et 21 ressorts l’ensemble comporte 20 d.d.l
Pour l’analyse stochastique nous supposons que les masses m et les raideurs k sont aléatoires, et suivent des lois normales.
Après assemblage les matrices de masse et de rigidité globales peuvent s’écrire sous la forme :
 
K : matrice de rigidité de dimensions (20,20) qu’on peut l’écrire sous la forme :
A est une matrice déterministe
k est un variable aléatoire supposé gaussien :
 : Moyenne de la raideur k
 : Écart type de la raideur k
 : Variable normal central réduit (moyenne nulle et variance égale à un)
De même la matrice de masse M (20,20) peut s’écrire sous la forme :
B est une matrice déterministe
m est un variable aléatoire supposé gaussien :
 : Moyenne de la raideur k
 : Écart type de la raideur k
: Variable normal central réduit (moyenne nulle et variance égale à un)
Les matrices [A] et [B] sont déterministes :
Dans ce cas  ,
La variance des valeurs propres est la même pour les deux méthodes.
Critère de comparaison
Ecart entre les moyennes des fréquences propres :
Ecart entre les écarts type des fréquences propres :
Ecart entre les moyennes des vecteurs propres :
Mode
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Méthode classique
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Nouvelle méthode
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Erreur (%)
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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1.04
1.04
1.04
1.04
1.04
1.04
1.04
1.04
1.04
1.04
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2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
|
0.40
0.40
0.40
0.40
0.40
0.40
0.40
0.40
0.40
0.40
|
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
|
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
2.18
|
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
|
Tableau 1 : Comparaison entre les solutions obtenues par la méthode classique,
la nouvelle méthode et une simulation de Monte Carlo de 1000 tirages pour
masses-ressorts
4.2 Etude de vibration de flexion d’une poutre bi-encastrée :
Soit une poutre en vibration libre dans le plan (Oxy). la poutre sera discrétisées par des éléments finis de poutres 2D (2 d.d.l par noeuds  ),
On va traiter le cas ou  , pour cela on va supposer que seul la côte de la section est aléatoire, et suit la loi normale.
: Variable normal central réduit (moyenne 0 et variance égale à 1)
Après assemblage les matrices de masse et de rigidité globales peuvent s’écrire sous la forme :
 
Les matrices [A] et [B] sont déterministes
Mode
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Méthode classique
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Nouvelle méthode
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Erreur(%)
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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0.06
0.06
0.06
0.06
0.06
0.06
0.06
0.06
0.06
0.06
|
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
|
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
|
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
|
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
|
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
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Tableau 2 : Comparaison entre les solutions obtenues par la méthode classique
la nouvelle méthode et une simulation de Monte Carlo de 1000 tirages
pour poutre en vibration de flexion
4 CONCLUSION
L’examen des tableaux ci-dessus montre que l’application de la nouvelle méthode donne des résultats plus précis que la méthode de perturbation, avec moins de temps de calcul.
On remarque aussi que les erreurs sont les mêmes pour tous les modes calculés.
On a profité de la simplicité de mise en œuvre d’un développement de premier ordre qui donne plus de précision par rapport à la méthode classique de perturbation de second ordre.
5 BIBLIOGRAPHIE
Drouin, B, Senicourt J.M, Lavaste F, Fezans G, (1993) De la mécanique vibratoire classique à la méthode des éléments finis, Afnor
Kleiber M, Hien TD, (1992) The stochastic finite element method, Ed. Jhon Wiley,
Muscolino G, Ricciardi G, Impollonia N, (1999) Improved dynamic analysis of structures with mechanical uncertainties under deterministic input, Probabilistic Engineering Mechanics |
