Remarque. L'énergie lumineuse portée par l'onde dans le milieu (1) peut être partiellement transmise dans le milieu(2) (onde transmise) ou se propager à nouveau dans le milieu (1) (onde réfléchie), une partie de l'énergie étant par ailleurs absorbée dans les milieux de propagation (doc 1)








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titreRemarque. L'énergie lumineuse portée par l'onde dans le milieu (1) peut être partiellement transmise dans le milieu(2) (onde transmise) ou se propager à nouveau dans le milieu (1) (onde réfléchie), une partie de l'énergie étant par ailleurs absorbée dans les milieux de propagation (doc 1)
date de publication19.12.2016
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4 LA RÉFRACTION
A –L’essentiel du cours


4.1 La mise en évidence de la réfraction
4.1.1 La réfraction des ondes lumineuses

 La réfraction est la modification de la direction de propagation qui accompagne la transmission d'une onde lumineuse quand elle rencontre obliquement la surface de séparation de 2 milieux transparents différents.
REMARQUE.- L'énergie lumineuse portée par l'onde dans le milieu (1) peut être partiellement transmise dans le milieu(2) (onde transmise) ou se propager à nouveau dans le milieu (1) (onde réfléchie) , une partie de l'énergie étant par ailleurs absorbée dans les milieux de propagation (doc.4.1) .









4.2
La transmission de l'onde lumineuse d'un milieu à un autre se fait sans changement de la fréquence, mais avec modification de la célérité et de la longueur d'onde.


4.1.2 Les lois de Snell-Descartes

Le rayon réfracté est dans le plan d'incidence.

Pour deux milieux transparents donnés, homogènes et isotropes, le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction est constant (doc.4.2).




Pour une culture



René Descartes (1596 - 1650)

Philosophe, mathématicien et physicien français. S’attachât à définir une méthode déductive, ayant l’évidence pour critère et permettant la reconstruction de tout l’édifice du savoir.

Sa physique mécaniste et sa théorie des animaux machines sont des jalons des débuts de la science moderne.






Solides



n



Plexiglas

Verre ordinaire

Verre flint

Cristal au plomb

Diamant


1,49

1,50

1,62

1,60 à 1,80

2,42



Liquides



n


Éthanol

Eau

Benzène

Sulfure de carbone

Tétrachlorure de carbone


1,30

1,33

1,50

1,63

1,46



Gaz



n


Air

Dihydrogène

Dioxyde de carbone

Dichlore


1,000 29

1,000 14

1,000 45

1,000 70


Le vide


1,000 00



4.1.3 La loi du retour inverse

Le trajet de la lumière, lors de la réfraction, est indépendant du sens de propagation.




Pour une culture






Johannes Kepler

(1571-1630)

Astronome allemand. Partisan du système de Copernic, il dé-couvrit, grâce aux observations précises de Tycho Brahé (astronome de l’empereur Rodolphe) dont il fut l’assistant et le successeur, les 3 lois du mouvement des planètes qui portent son nom.

Sa démarche intellectuelle garde l’empreinte de la conception médiévale de la science, où les phénomènes physiques portent la marque du Créateur, et de la philosophie de Platon, selon qui la réalité du cosmos ne nous est accessible que par le nombre et la géométrie.











4.2 Les indices de réfraction
4.2.1 La signification physique




4.2.2 L'indice absolu

L'indice de réfraction n, d’un milieu transparent, est égal au rapport de la célérité d'une onde lumineuse dans le vide, à celle de la même onde dans ce milieu.



REMARQUE.- L'indice absolu n est toujours plus grand que l'unité (n1).
4.2.3 L'indice relatif

L'indice relatif de réfraction n2/1, d’un milieu (2) par rapport à un milieu (1), est égal au rapport de célérités d'une onde lumineuse dans les milieux (1) et (2) (ou au rapport de leurs indices absolus).



REMARQUE.- Un milieu (1) est plus réfringent qu'un milieu (2) si n1 n2 .
4.2.4 La réfraction en fonction des indices


n1 sin i1 = n2 sin i2

Loi de Kepler pour les angles petits ( 10°) : n1 i1 ≈ n2 i2 . (i1 et i2 en radians)
4.2.5 Le chemin optique

On appelle chemin optique pour un parcours de longueur ℓ dans un milieu d'indice n, la distance qui serait parcourue par la lumière, dans le vide, pendant le même temps. ° = ℓ ∙ n.

La différence de marche d'une onde qui traverse la même longueur ℓ, dans deux milieux différents, est : δ = ℓ n n' .

4.3 La discussion
4.3.1 La lumière rencontre un milieu plus réfringent : réfraction limite

La lumière passe toujours d'un milieu dans un autre plus réfringent. Le rayon réfracté se rapproche de la normale au point d'incidence. Tous les rayons réfractés sont contenus à l'intérieur d'un cône de révolution d'axe IN' (la normale), de sommet I, de demi angle au sommet  (angle limite de réfraction) (doc.4.3).



REMARQUE.- Dans ce cas n12  n1/n2 <1  sin i2/sin i1 <1  i2 < i1.

4.3.2 La lumière rencontre un milieu moins réfringent : réflexion totale

Pour que la lumière passe d'un milieu dans un autre moins réfringent, il faut que i  . Le rayon réfracté s'écarte de la normale au point d'incidence (doc.4.4). Les rayons incidents qui fournissent des rayons réfractés sont à l'intérieur d'un cône de révolution d'axe IN, la normale, de demi-angle au sommet . Quand i  , le rayon incident se réfléchit totalement (doc.4.5).

REMARQUE.- Dans ce cas n1>n2  n1/n2>1  sin i1/sin i2<1  i12 .
4.3.3 Les applications de la réflexion totale

Les fontaines lumineuses (doc.4.6), les prismes (jumelles, périscopes) (doc.4.7), les mirages au désert (doc.4.8), les endoscopes médicaux, les fibres optiques, etc. : la lumière se trouve guidée par la succession de réflexions totales, dues au fait que i > .


4.6 4.7 4.8

B –Problèmes résolus
4.1

Un récipient cylindrique de diamètre 35 cm et de hauteur 20 cm est rempli d’eau d’indice n = 4/3. Un disque circulaire en liège, d’épaisseur négligeable, de diamètre 10 cm, flotte sur l’eau et son centre coïncide avec l’axe de symétrie du récipient. Une source lumineuse ponctuelle est placée à 5 cm au-dessus du centre du disque. Comment apparaît le fond du récipient ?




Le disque de liège empêche le faisceau lumineux de sommet S et s’appuyant sur le pourtour du disque d’atteindre le fond du récipient.

Considérons les rayons extrêmes SA et SB, qui délimitent sur le fond du récipient le diamètre CD du cercle non éclairé (doc.4.9).

Comme le triangle SAB est rectangle isocèle (SO=AB/2), l’angle d’incidence en A (et en B) vaut 45°.

Appliquons la loi de la réfraction en A (ou en B), nous aurons :

n1 sin i1 = n2 sin i2  sin i2 = n1/n2 sin i1.

Avec n1 = 1, n2 = 4/3 et sin i1 = ¯2/2 (i1 = 45°), l’angle de réfraction aura pour valeur :



Dans le triangle rectangle AHC, nous aurons : CH = AH  tan 32°

CH = 20  0,625=12,5 cm.

Le diamètre du cercle obscur a donc pour valeur :

CD = CH + HH’ + H’D = 2 CH + AB

CD = 2  12,5 + 10 = 35 cm.

Comme le cercle non éclairé a le même diamètre que le fond du récipient, celui-ci apparaît obscur.
4.2

On dispose d’une cuve hémicylindrique de centre O. On y verse deux liquides non miscibles : le sulfure de carbone d’indice n1= 5/3 et l’eau d’indice n2= 4/3. Un faisceau de lumière monochromatique pénètre dans cette cuve par une fente étroite et verticale, en O, sous une incidence i < 10°.

Sur la paroi circulaire de cette cuve, graduée en degrés, on observe deux traits lumineux verticaux dont l’écart angulaire est  = 1°. Déterminer la valeur de l’angle d’incidence i.






Désignons par n=1 l’indice de l’air, i1 et i2 les angles de réfraction dans le sulfure de carbone et l’eau ; la loi de Kepler pour les angles petits s’écrit :

  • dans le sulfure de carbone : n i = n1i1,

  • dans l’eau : n i = n2i2.

D’où: i1 = i/n1 et i2 = i/n2.

Comme n1 > n2, nous aurons: i1 < i2 (Voir § 4.3).

Par suite, nous pouvons écrire : i2 − i1 =  ; i/n2 − i/n1 =  ;



Avec  = 1°, n1 = 5/3 et n2 = 4/3, l’angle d’incidence i aura pour valeur (doc.4.10) :


4.3

Un projecteur S (supposé ponctuel) est placé sur le fond horizontal d’un bassin contenant de l’eau, d’indice n = 1,33, sur une hauteur h = 1,00 m. Ce projecteur envoie vers la surface de l’eau un faisceau, en forme de cône de révolution, d’axe de symétrie vertical et d’angle au sommet  = 120°.

1) Trouver le rayon r du cercle, lieu des points de la surface libre de l’eau, où les rayons incidents venant de S commencent à subir la réflexion totale.

2) Montrer qu’il se forme sur le fond du bassin un anneau brillant et trouver son épaisseur.




1) L’angle limite de réfraction pour le dioptre eau-air est donné par la relation : sin  = n2/n1.

Avec n2= 1 (l’air) et n1= 1,33, l’angle limite  aura pour valeur : sin  = 1/1,33 = 0,752  49°.

Les rayons lumineux qui subissent la réfraction sont contenus à l’intérieur du cône de sommet S, d’axe SI (la normale) et de demi angle au sommet . L’intersection de ce cône avec la surface libre de l’eau donne un cercle éclairé de rayon r (doc.4.11).

Dans le triangle rectangle SII1 on a :



Avec h = 1,00m et tan  = 1,15, le rayon r de ce cercle aura pour valeur : r = 1,00  1,15 = 1,15 m.

2) Les rayons lumineux issus de S et ayant des angles d’incidence compris entre 49° et 60° subissent la réflexion totale. Comme le faisceau lumineux incident possède un axe de révolution vertical, l’intersection de rayons réfléchis avec le fond du bassin donne une zone éclairée, en forme d’un anneau brillant d’épaisseur AB=e.


REMARQUE.- L’anneau brillant est auréolé de lumière sur sa partie interne, en raison de la réflexion partielle de la lumière sur la surface du dioptre eau-air.

Dans le triangle SI1A, on a : r1 = 2 SH1 = 2 r.

Dans le triangle rectangle SH2I2, on a :



Avec h = 1,00 m, r = 1,15 m et tan 60° = 1,73, les rayons r1 et r2 auront pour valeurs :

- rayon intérieur : r1 = 2  1,15 = 2,30 m,

- rayon extérieur : r2 = 2  1,00  1,73 = 3.46 m.

L’épaisseur de l’anneau brillant serait : e = r2  r1 = 3,46  2,30 = 1,16 m.
4.4

Un rayon incident fixe faisant un angle de 45° avec la verticale, pénètre de l’air dans l’eau d’une cuve dont la surface libre est HH’. Cette eau, d’indice n = 4/3 et d’épaisseur e = 5,0 cm, repose sur un bain de mercure. Le rayon réfracté se réfléchit sur le mercure, puis se réfracte et sort suivant l’axe d’un tube T.

1) Déterminer la direction du rayon émergent par rapport au rayon incident initial.

2) On remplace l’eau par un liquide d’indice n’= 5/3. Quelle doit être l’épaisseur de la couche de liquide pour que le rayon émergent occupe la même position ?






1) Le rayon incident SI se réfracte en I en faisant avec la normale un angle r donné par la relation de Snell-Descartes (doc.4.12) ;

n1 sin i = n2 sin r  sin r = n1/n2 sin i.

Ici n1 = 1, n2 = 4/3, i = 45° et sin 45° = ¯2/2.

L’angle de réfraction r serait :

sin r = 3/4  ¯2/2 = 0,530  r = 32°.

Le rayon réfracté II’ arrive sur le mercure en faisant avec la normale OI’ un angle d’incidence égal à r (alternes internes). L’angle de réflexion en I’ est aussi égal à r (2e loi de la réflexion). Le rayon réfléchi rencontre la surface de l’eau en I, en faisant avec la normale le même angle r. D’après le principe du retour inverse de la lumière, il se réfracte en faisant avec la normale un angle de 45°.

Les rayons incident et émergent, qui font avec les deux normales parallèles entre elles en I et I des angles de 45°, sont  rectangulaires et la déviation est de 90°.
2) Le rayon incident rencontre maintenant la surface du liquide en I1 .L’angle de réfraction r’ est donné par la relation : sin r’= n1/n’2 sin i = 3/5  ¯2/2 = 0,424  r’= 25°.

En conduisant le raisonnement comme dans la question 1, le rayon réfracté I1I’1 se réfléchit sur le mercure en I1 et arrive à la surface du liquide en I1” ; il se réfracte en faisant avec la normale en I1” un angle de 45° (principe du retour inverse) et ceci suivant la direction I1”I” pour pénétrer suivant l’axe du tube T.

La condition que le rayon émergent repasse par le tube T impose, puisque la marche de la lumière présente comme axe de symétrie la normale à la surface du mercure en I’ ou I1’, que les points I’ et I1’ soient confondus. Dans le triangle rectangle isocèle ILI1, on a : LI1 = LI = e  e’.

D’où : LI1 = e  e’= OI  O’I1.

Les triangles rectangles IOI’ et I1O’I’ donnent :

OI = e  tan r et O’I1 = e’  tan r’.

D’où : e  e’ = e  tan r  e’  tan r’.

Avec e = 5,0 cm, tan r = tan 32° = 0,625   et tan r’= tan 25° = 0,466, l’épaisseur e’ de ce liquide serait :


Pour une culture

Le mirage au désert

C’est un phénomène optique produit par la réflexion totale subie, dans des conditions atmosphériques particulières, par les rayons lumineux proches du sol.

En effet, au voisinage d’une surface chaude et en l’absence de courants de convection, la densité de l’air diminue et, par conséquent son indice de réfraction peut être inférieur à celui de la couche d’air immédiatement au-dessus. La lumière subit à chaque traversée de couches, une réfraction, et parvient à l’observateur après s’être réfléchie totalement au voisinage du sol. Un observateur a l’impression de voir une étendue d’eau qui est, en réalité, l’image du Ciel (doc.4.8).
5  e’= 5  0,625  e’ 0,466  e’= 3,5 cm


4.5

On dispose d’une cuve contenant deux liquides non miscibles : le benzène et l’eau d’indice 4/3. Une onde lumineuse rectiligne, de fréquence f = 5,101014Hz et de célérité dans le vide c  3108m/s, émise par une lampe au sodium, rencontre le benzène sous une incidence de 30°. Le rayon réfracté, dans le benzène, se rapproche de la normale d’un angle de 10,5°.

1) Calculer l’indice de réfraction du benzène, ainsi que la célérité et la longueur d’onde de l’onde lumineuse dans cette substance.

2) Que deviennent la célérité et la longueur d’onde quand cette lumière pénètre dans l’eau ?

3) Trouver la direction du rayon réfracté dans l’eau par rapport au rayon incident dans l’air.




4.13



1) L’onde lumineuse pénètre dans le benzène en formant un angle de réfraction r, tel que (doc.4.13) : d = i  r  r = i  d.

D’où : r = 30°  10,5° = 19,5°.

La loi de la réfraction nous permet d’écrire :



Avec sin 30° = 0,5 et sin 19,5° = 0,333, l’indice de réfraction n du benzène serait : n = 0,5/0,333 = 1,50.

La célérité, dans le benzène, de cette onde lumineuse est donc (Voir § 4.2.2) :



La longueur d’onde serait (Voir § 1.5.1) :


2) Le rayon réfracté rencontre la surface de l’eau en formant un angle d’incidence égal à r (alternes internes).

Calculons l’angle limite du benzène par rapport à l’eau :



Puisque l’angle d’incidence est inférieur à l’angle limite (r<), l’onde lumineuse passe du benzène dans l’eau suivant la relation :

n  sin r = n’ sin r’  sin r’= n/n’ sin r.

Avec n = 1,5, n’ = 4/3 et sin r = sin 19,5° = 0,333, l’angle de réfraction r’, dans l’eau, aura pour valeur :



En passant dans l’eau, l’onde lumineuse a donc dévié de :

d’ = r − r’ = 19,5° − 22° = − 2,5°.

La valeur négative signifie que le rayon lumineux s’est éloigné de la normale.

La célérité de l’onde lumineuse dans l’eau serait :

v’ = c/n’ = 3  108  ¾ = 2,25 108 m/s.

La longueur d’onde dans l’eau est donc :


REMARQUE.- On aurait pu calculer la célérité et la longueur d’onde à partir des relations :


3) L’angle de déviation, que forme la direction du rayon réfracté dans l’eau avec celle du rayon incident dans l’air, a pour valeur :

D = d + d’ = 10,5° + (− 2,5°) = 8°.
C –Problèmes proposés
4.6

Tracer la marche d’un rayon lumineux arrivant sous une incidence de 60° sur une boule sphérique d’indice n=. Calculer les angles que forme le rayon émergent de la boule avec le rayon incident initial et le rayon réfléchi au point d’émergence











Rép.- 60° ; 90°.
4.7

Dans l’expérience représentée par le document 4.14, on se sert d’un bouchon dont le diamètre est de 12,0 cm. Quelle doit être la hauteur maximale de la pointe pour que son extrémité ne puisse être vue par un observateur dont l’œil est situé dans le plan de la surface de séparation de l’eau et de l’air ?

Indice de l’eau : 4/3.

Rép.- 5,3cm.
4.8

Un rayon lumineux arrive de l’air, d’indice 1, sous une incidence i et pénètre dans le cœur de la fibre d’indice n = a. L’angle d’incidence sur la surface de séparation cœur-gaine est i’ (doc.4.15).

1) Donner la relation entre i’ et r et l’expression de cos i’.

2) L’indice de la gaine a pour valeur n’= b (b < a). Exprimer le sinus de l’angle limite de réfraction entre les milieux d’indices a et b.

3) Trouver la condition pour qu’un rayon lumineux puisse se propager dans la fibre.

4) Pour a=1,61 et b=1,59, calculer les angles  et i trouvés dans les questions 2 et 3.

Rép.-1) cos i’= sin i /a. 2) sin  = b/a. 3) 4)  81°; i<14,7.
4.9

Un faisceau lumineux conique monochromatique, converge en un point O. Il donne sur un écran E, situé à 1m en arrière de O, une tache lumineuse de 36,4cm de rayon. On interpose une demi boule d’indice n comme l’indique le document 4.16, le point O coïncidant avec le centre de la face plane. On constate que la tache sur l’écran n’a plus qu’un rayon de 14,3cm.

1) Calculer l’indice n.

2) Quel serait le rayon de la tache si tout le système était plongé dans le sulfure de carbone d’indice 1,63 ?

Rép.-1) n=2,42. 2) R’=23,6 cm.
4.10

Un prisme de verre flint, dont la section droite ABC est un triangle rectangle isocèle, reçoit sur la face AB un rayon lumineux cheminant dans le plan ABC. Le rayon SI est parallèle à AB, et le miroir M fait un angle de 45° avec ce rayon. Les faces AB et BC sont dans l’air, la face AC dans l’eau (doc.4.17).

On demande de tracer la marche du rayon lumineux incident SI et de calculer l’angle entre le rayon SI et le rayon émergent dans l’eau.

On donne : indice du verre flint : 1,57 ; indice de l’eau : 4/3.

Rép.- 11,3°.
4.11

Sur le fond d’une cuve est posé un miroir plan. La cuve contient de l’eau dont l’épaisseur est 10,0 cm et du benzène dont l’épaisseur est 4,0 cm. Un rayon lumineux arrive sur la surface du benzène sous une incidence de 20° (doc.4.18).

1) Déterminer le trajet du rayon lumineux.

2) Quelle est la distance entre le point d’incidence I et le point d’émergence E ?

Indice du benzène : 1,5 ; indice de l’eau : 4/3.

Rép. - 7,2 cm.


4.12



4.19

Une auge qui a la forme d’un parallélépipède droit à base rectangulaire est placée sur un plan horizontal. La section droite intérieure est un rectangle ABCD dont la base AB = 10,0 cm ; la hauteur CB est à déterminer par les conditions suivantes : l’œil O est placé de manière que le plan passant par le point O et par l’arête C, passe aussi par l’arête opposée A. On fixe la position de l’œil à l’aide d’un repère, on remplit d’eau jusqu’au bord de la cuve, et en remettant l’œil à la même place, on aperçoit alors sur le prolongement de la ligne OC un point brillant K, placé au fond de la cuve à une distance AK = 4,0 cm (doc.4.19).

Indice de l’eau : 4/3.

Rép.- 8,8 cm.

4.13

La célérité d’une onde lumineuse dans le sulfure de carbone est 1,84108 m/s. Quel est l’indice de réfraction du sulfure de carbone correspondant à cette radiation ?

Rép.- n=1,63.

4.14

Une radiation a pour longueur d’onde dans le vide λ = 486,1 nm. Pour cette radiation, l’indice du verre flint vaut n = 1,671.

1) Calculer la fréquence de cette radiation.

2) Calculer, pour cette radiation, la célérité dans le verre considéré ainsi que la longueur d’onde correspondante.

Rép.- 1)6,171014Hz. 2)1,79108m/s ; 290,9 nm.

4.15

Une onde lumineuse a une longueur d’onde de 413 nm dans un milieu transparent d’indice 1,50. Quelle est sa longueur d’onde dans un milieu d’indice 1,33 ? Quelle est la fréquence de cette radiation ?

Rép.- 466 nm ; 4,841014Hz.


Pour une culture
L’endoscope

C’est un appareil optique destiné à être introduit dans les cavités naturelles de l’organisme pour les examiner (on pratique ainsi des bronchoscopies, cystoscopies, gastroscopies, rectoscopies, etc.).




Les endoscopes sont constitués par un tube métallique ou en fibres optiques, de 6 à 8 mm de diamètre, muni d’un objectif avec éclairage à une extrémité, et d’un oculaire pour l’œil de l’observateur, à l’autre extrémité.

La lumière pénètre dans le cœur à une extrémité de la fibre, arrive sur le dioptre cœur-gaine, avec une incidence i >  (l’angle limite  étant faible). Le faisceau subit alors une réflexion totale et poursuit son chemin dans le cœur en effectuant de nombreuses réflexions totales sur la paroi du cœur (problème 4.8).
Les feux du diamant

Un indice de réfraction très élevé (n=2,42), un angle limite faible ( =24°), joints à une grande puissance dispersive de la lumière, donnent aux variétés pures, incolores et transparentes du diamant, un éclat particulier, dit justement « adamantin », et des irisations qui font toute leur valeur en tant que pierres ornementales.



Le Régent Le Cullinan



Par clivage, on le taille en « brillant » ou en « rose ». Un rayon pénétrant dans un diamant taillé peut donc subir facilement, à l’intérieur, de multiples réflexions totales sur de nombreuses facettes avant de ressortir. Comme c’est la lumière blanche qui intervient, on obtient des « feux » légèrement teintés, très appréciés.

Le plus gros diamant du monde est le Cullinan et le plus pur est le Régent parmi les diamants célèbres.

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