Le rapport entre la base et l’hypoténuse vaut








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Chapitre 10 : trigonométrie du triangle rectangle UAA 2

Mise en situation 

Ethymologie du mot  « Trigonométrie » ?



Notion : sinus, cosinus et tangente



  • jecomprendsJe me rappelle

Souvenir 1 :

  1. Trace un triangle rectangle avec un angle de 30° (dimensions des autres côtés au choix).

Remarque : Tous nos triangles tracés par les élèves sont …………………………………………

  1. Chacun mesure son hypoténuse et sa base au mm près. Divisez et notez ci-dessous.

Le rapport entre la base et l’hypoténuse vaut ………………………

Le professeur n’a pas tracé mais a pris sa calculatrice et vous donne la valeur exacte ………………………


  • and9gcqyarhlzs85i2q-migld-wydnup9yjpryun_gn-njnrx_41jdctbswfa7qbJe me demande

Question 1 

Soient deux triangles rectangles semblables, avec un angle commun. Le rapport de leurs côtés homologues reste le même.

On a décidé d’appeler le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse : cosinus de l’angle.

geogebra

Le côté adjacent est toujours…………………………………….à l’hypoténuse.

Donc le rapport des deux mesures ……………………………………………….

Conclusion : le cosinus d’un angle………………………………….

Notation : Le cosinus de l’angle 20° se note…………

Question 2 :

On a décidé d’appeler le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse : sinus de l’angle.

geogebra

Le côté opposé est toujours…………………………………….à l’hypoténuse.

Donc le rapport des deux mesures ……………………………………………….

Conclusion : le sinus d’un angle………………………………….

Notation : Le sinus de l’angle 20° se note…………





fbs-798916

Mode degré (mode 3)

Trouver le sinus de 20°

SIN 20 EXE

Trouver l’angle de sinus 0,5

SHIFT SIN(qui est ASIN) 0,5 EXE

2668101-un-d-tail-de-calculatrice-scientifique-avec-les-sinus-cosinus-tangente-inverse-somme-fonctions

Question 3 :

On a décidé d’appeler le rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent : tangente de l’angle.

geogebra

Le côté opposé et le côté adjacent ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………..

Donc le rapport des deux mesures ……………………………………………….

Conclusion : la tangente d’un angle…………………………………

Notation : la tangente de l’angle 20° se note………… ou …………

  • 1185544152Je sais

Façons de reconnaître un triangle rectangle

Matériel




Nom, formule ou propriété

aristo-equerre-45




On mesure l’angle droit.

fbs-798916regle_1314735964




On mesure les côtés et on vérifie avec la calculatrice que

and9gctolqmsalaw26wzqff4rxlkqlsertmrzhri_8dzxgpmzrg6hlfvregle_1314735964




On mesure pour avoir le milieu et on trace le dernier cercle circonscrit.

regle_1314735964




On mesure la médiane issue de l’angle droit et l’hypoténuse.

fbs-798916regle_1314735964aristo-equerre-45




On mesure un angle et deux côtés et on vérifie avec la calculatrice que

Rapports trigonométriques

part4_1_1a

and9gcqdnzqivp0qvjn5--znhsmkt64vapeusman7tij72l5xwi-7sy6Moyen mnémotechnique : …………………………….

  • 1334068916_calimero-fait-de-la-musculationJ’applique

Exercice 141

  1. Evalue le sin 40° en traçant un triangle pour t’aider. Vérifie avec ta calculatrice.




  1. Quelle est la hauteur d’un escalier d’embarquement sachant qu’il mesure 580cm et que son inclinaison par rapport au sol est de 32° ? ( schéma avec données et x)




avion-d-embarquement-de-passager-thumb4137422

  1. Si le soleil est incliné à 50° par rapport à l’horizon, quelle est la hauteur d’un arbre dont l’ombre mesure 4m ? (schéma avec données et x)




5930895-vecteur-avec-un-arbre-du-paysage-et-agiter-les-rayons-de-soleil






Exercice 142


  1. Calcule, au centième près, avec la calculatrice,

tan 10°

tan40°

tan60°,

tan80°

  1. Détermine , avec la calculatrice, , au centième de degré près, si

a) tan =1,03555 

b) tan=2  

c) tan=0,1

  1. Peu de temps après le décollage, un avion atteint une hauteur de 2,1km. Arrivé à cette hauteur, il a parcouru une distance de 8km. (cette distance est la projection orthogonale sur le sol de la trajectoire de l’avion). Quel est l’angle de montée de l’avion ? (schéma avec données

et x)


sv_64_9_1



Exercice 183

  1. Joseph et Marie inventent des exercices et échangent leurs questions. Voici le questionnaire de joseph :

Calcule  : sin=0,85 ; sin=85° ; sin=8,5 ; cos=0,9; cos=1,01; tan=1,1; tan=107

Marie lui dit, avant de faire les calculs, que plusieurs sont impossibles! Lesquels et pourquoi ?

  1. Ecris sin sous forme de fraction.

geogebrageogebra geogebra

  1. Calcule la longueur de |CB|.

geogebra

  1. Détermine l’angle au centième de degré près.

a)sin=0,25882 ; b)sin=0,99985 ; c)cos=0,5 ; d)cos=0,25882




  1. Calcule (au millimètre près) la longueur du côté (x). Longueurs données en cm. geogebrageogebra



  1. Détermine l’angle (en gris) au degré près.

geogebrageogebra


geogebra

geogebra

geogebra

geogebra

geogebra




  • canstock13868140Je trace le plan avec les mots clefs

4274_render_parchemin


  • 300816_2x7ez4awky6xgodttmg67i3l4ozjdt_schtroumpf_a_lunettes_h184518_l Je travaille mes compétences

Exercice 184

tour-de-pise

On sait que le sommet de la tour de Pise s’écarte de la verticale (voir trait pointillé sur dessin) de 5,23m. Cette tour a une hauteur de 54,56m (voir trait noir sur dessin). Calcule l’angle aigu qu’elle forme à la base avec la verticale. (schéma avec données et x)


Exercice 185

La distance du pied de l’échelle au mur, mesurée sur le sol, est 1,5m. L’inclinaison de l’échelle par rapport au mur est 16°. A quelle hauteur l’échelle touche-t-elle le mur ? (schéma avec données et x)


echelle-main-3103379

Exercice 186

Démontre que tan= en te basant sur le triangle suivant.

geogebra

Je prépare mon évaluation n° 15

1442220-entretien-d-evaluation-les-erreurs-a-eviter

  • Ai-je bien retenu ? /2

La tangente d’un angle est : (en français)____________________________

___________________________________________________________

Le rapport d’un côté opposé par l’hypoténuse est appelé _______________ de l’angle.

  • Puis-je appliquer ?

    1. À l’aide d’une calculatrice, donner la valeur arrondie à 10– 3 prés de :

cos 10° = ; sin 10° = ; tan 10° =



    1. À l’aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 1° près de x, y et z.

cos x = 0,345 sin y = 0,345 tan z = 1,437

    1. Un triangle ABC est rectangle en A. On donne |AB| = 4 cm et = 39°. Construire le triangle ABC. Calculer |AC| à 0,01 près.



4. Calculer, au cm près, la hauteur |AB| de l’immeuble.



  1. La figure ci-contre représente un flipper. Calculer la tangente de l’angle . Quel est l’angle au degré près ?







Je me donne une note : ……………/10

Je dois revoir les questions …………………………………………



journal Je m’informe… https://www.youtube.com/watch?v=wY4CwAhF19g



Aujourd’hui, l’usage de la calculatrice est incontournable lorsqu’on applique ces fonctions. Mais si l’on remonte à la fin des années 70, les collégiens ne disposaient pas encore de calculatrice et devaient se munir de tables trigonométriques pour effectuer les calculs.

image-1146





7ee25886

Je dois encore réviser …

  1. La Tour Eiffel :

Sandrine admire la Tour Eiffel sous un angle de 65° et se place à 160 m. Quelle est la hauteur de la Tour Eiffel ? Schématise la situation.

  1. Complète le tableau suivant.




a

b

c





10







30°




24










45°




6,2




20°










125

38,2°







6

4







30




26,5










  1. Une rampe a une longueur de 93m. La différence de niveau entre les points extrêmes est de 15m. Calcule l’amplitude de l’angle d’inclinaison de la rampe. Représente la situation.





Réponses

1.



2.

a

b

c





10





30°



24







45°



6,2



20°







125

38,2°





6

4





30



26,5





3.










Notion : appliquons la factorisation



  • jecomprendsJe me rappelle

Souvenir 1 : factoriser

Les différentes techniques sont :

Dans l’ordre !!!!!!!!

1._____________________________________________________

2 ._____________________________________________________

3 ._____________________________________________________

4 ._____________________________________________________

5 ._____________________________________________________

Souvenir 2 : Equation du premier degré

1/ A l’aide des propriétés, on effectue (en respectant ordre des opérations)

2/ Quand il y a des fractions, on………………………………………………………………………………

puis on multiplie les deux membres par ce dénominateur (on……………………………)

Attention si un « ……… »  devant une fraction !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ex :


  • and9gcqyarhlzs85i2q-migld-wydnup9yjpryun_gn-njnrx_41jdctbswfa7qbJe me demande

Question 1 

Pour simplifier une fraction, il faut avoir un …............................. au numérateur et un ……………………….. au dénominateur. Si ce n’est pas le cas, il faut …………………………………

Exemples:




Question 2 : transformer une formule

Isole la lettre i en te souvenant des règles des équations.


Question 3 : Equation du deuxième ou troisième degré.

Relie les solutions les plus rapides à trouver pour les équations suivantes (pas de calcul) ! Barre les autres.

Equation










Solution

x²-5x+6=0








2

(x-3)(x+2)=0








-2

x²-3x=4








0

(x+1)(x-2)=2








3

(x-1)²=0








1

7(x+1)(x-2)(x-3)=0








-1

Les équations choisies sont plus simples à résoudre car :

    1. ……………………………………………………………………




    1. ……………………………………………………………………


En effet, on sait que : si a . b = 0 alors……………………ou ……………………

C’est la règle du……………………………………………

Ce sont les équations  « ………………………………………………………………………………………… »


Ex1 : (x-2)(x-3)x = 0

Ex2: 2x² + 3x = 0


Ex 3 : x² = 121

Ex 4 : 8x³- 72x = 0





  • 1185544152Je sais

Simplifier une fraction

On factorise le numérateur et le dénominateur puis on simplifie.

Equations produit nul

Si on a une équation sous forme de produit dans un membre et zéro dans l’autre membre, il suffit de considérer la racine de chaque facteur pour avoir l’ensemble de solutions.


  • 1334068916_calimero-fait-de-la-musculationJ’applique

Exercice 187 Simplifie les fractions suivantes





















Exercice 188 Transformer les formules données et isoler la lettre mise entre parenthèse.

  1. q=4 s+b (s)




  1. d=kt+a (a)




  1. g=+b (z)




  1. r=f s +b (s)




  1. d=kt-x (x)




  1. t= (m)




  1. q=k(r+a) (k)




  1. d=k(t-i) (i)




  1. u= (x)






Exercice 189 : Résoudre les équations suivantes

  1. x² - 4 = 0




  1. x² = 64

  1. x² - 5x = 0




  1. x² + x = 0




  1. (x- 7 ) ( x + 2 ) = 0




  1. (x+5)² = 0

  1. x² + 5 x +6 = 0



  1. 3x² = -3

  1. (2x - 6 ) ( -x -5 ) = 0



  1. x³-3x²= 0


  • canstock13868140Je trace le plan avec les mots clefs

4274_render_parchemin

  • 300816_2x7ez4awky6xgodttmg67i3l4ozjdt_schtroumpf_a_lunettes_h184518_l Je travaille mes compétences

Exercice 190 Résoudre les problèmes suivants

On considère l’expression

D=(4x-7)(2x-3)-(2x-3)²

Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle et AEFD est un carré. On suppose, dans cette question, que x est un nombre supérieur à 2. Pour quelles valeurs de x (supérieures à 2), la différence entre l’aire du rectangle et l’aire du carré est-elle égale à 12cm² ?





Exercice 191 Quand l’aire d’un carré de côté 4x vaut-elle 400m² ? Résous par équation…


66096091


Je prépare mon évaluation n° 16

1442220-entretien-d-evaluation-les-erreurs-a-eviter

  • Puis-je appliquer ?

Simplifie. /3





Isole a. /3

3 a + c = b t= q=k(r+a)

Résous. /4

x³ = 16x x² ( x-5) (x+1) = 0

Je me donne une note : ……………/10 Je dois revoir les questions …………………………………………

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