Résumé. La physique quantique ou l'entraînement de la pensée physique par les formes mathématiques








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Michel Paty La physique quantique ou l'entraînement … par les formes mathématiques


in Mataix, Carmen y Rivadulla, Andrés (eds.), Física cuántica y realidad. Quantum physics and reality, Editorial Complutense, Madrid, 2002, p. 97-134.

La physique quantique ou l'entraînement de la pensée physique par les formes mathématiques
Michel Paty*

CNRS et Université Paris 7


Résumé. La physique quantique ou l'entraînement de la pensée physique par les formes mathématiques.

On développe l'idée selon laquelle, depuis l'hypothèse de la quantification des échanges d'énergie par Planck, jusqu'à l'élaboration de la mécanique quantique, ainsi, d'ailleurs, que dans les développements ultérieurs de la physique du domaine quantique, la mise au jour de relations mathématiques a permis à la connaissance physique de pénétrer dans le monde atomique et subatomique qui échappait à la connaissance sensible. Ces relations se sont avérées correspondre à des traits physiques caractéristiques des phénomènes quantiques. Longtemps le statut épistémologique de ces relations a fait problème, immergé dans les considérations “physico-philosophiques” sur l'“interprétation”. Le cas n'est pourtant pas si radicalement nouveau, si l'on se rappelle de phases précédentes de l'utilisation de grandeurs mathématiques comme “outil de pensée” pour la théorie physique, par exemple en mécanique classique, en électromagnétisme, en thermodynamique. Les justifications de cette utilisation étaient liées à diverses “interprétations” de la portée physique des relations mathématiques. A tout bien considérer, il n'en va pas autrement avec la formulation apparemment abstraite de la mécanique quantique. Si tel est bien le cas, le problème de l'interprétation est ramené au statut épistémologique des grandeurs quantiques servant à décrire les systèmes physiques. Or, précisément, la compréhension actuelle de la physique quantique amène naturellement à considérer les grandeurs théoriques, sous leur forme mathématique, comme des représentations “directes” des systèmes physiques dans le domaine quantique. Il reste à évaluer ce que cela entraîne comme changements (et simplifications) sur les problèmes d'interprétation.

1. Introduction.



1.1. Je dois commencer par donner une définition de ce que j'entends par «entraînement de la pensée physique par les formes mathématiques », d'une manière générale. A partir du moment où un «outil mathématique» est choisi ou inventé pour exprimer un concept physique (par exemple, les fluxions ou les différentielles pour exprimer les grandeurs physiques de la mécanique classique), il se produit un effet d'entraînement de cet «outil» sur la connaissance des objets auxquels on l'applique : c'est ainsi que la physique toute entière s'est peu à peu constituée par la description analytique (celle du calcul différentiel et intégral), autour de principes physiques propres à chaque domaine de phénomènes. Généralement, cet effet de la mise en forme mathématique, analytique en l'occurrence, est conçu parallèlement à une conceptualisation physique : il y a un accord selon notre intuition, notre intellection, entre la formalisation mathématique et notre pensée des grandeurs physiques, c'est-à-dire ce que nous concevons comme le contenu physique de ces grandeurs. On peut dire que, dès que la théorie a trouvé sa formulation, la forme même donne le contenu, qu'elle comprend, puisqu'elle a été constituée pour exprimer ce contenu physique.

Cela est vrai depuis l'introduction de l'analyse (au sens du calcul différentiel et intégral) en physique avec la mécanique classique, qui n'a pu s'étendre aux systèmes matériels les plus divers, des solides aux fluides et aux corps célestes, que grâce à cet usage de l'analyse, en particulier des équations aux dérivées partielles. D'Alembert faisait déjà remarquer au xviii è siècle, en créant les conditions du traitement analytique de l'hydrodynamique et de la physique des milieux continus, que «c'est avec le secours seul de ces calculs qu'il est permis de pénétrer dans les Fluides, qui sont constitués d'atomes innombrables, et dont «le mécanisme intérieur (…) [est] si peu analogue à celui des corps solides que nous touchons et sujet à des lois toutes différentes»1. Sans cette mathématisation leurs propriétés nous demeureraient cachées. Il nous semble rétrospectivement, que cet accord s'effectue sans problème, harmonieusement, mais l'histoire effective en est plus compliquée. Le point matériel, le temps instantané, entités singulières, et l'élément différentiel, qui exprime la continuité, n'ont pas été de découverte ni d'assimilation immédiates.

La physique quantique a semblé à ses fondateurs et à leurs contemporains, et nous semble souvent encore, rompre avec ce qui est généralement pensé comme caractéristique de la physique (du moins jusqu'à elle), à savoir que l'expression formelle (ou mathématisée, c'est-à-dire considérée sous sa forme mathématique) et le contenu conceptuel et physique vont de pair. La simple évocation de quelques exemples relativement bien connus, pris dans la physique pré-quantique mais parmi les plus abstraits quant à la formalisation, feront voir ce dont il s'agit. Un premier est le principe de moindre action depuis sa formulation hamiltonienne en termes de calcul variationnel, qui donne immédiatement les équations du mouvement ou d'évolution, en mécanique, en électromagnétisme, en théorie de la relativité restreinte et générale. Un second exemple est la condition de covariance de la relativité restreinte utilisée pour exprimer la bonne forme du lagrangien d'un type d'interaction donné (la première mise en œuvre de cette condition est due à Poincaré, en 1905, pour modifier la loi newtonienne de l'attraction gravitationnelle afin de la rendre relativiste au sens restreint)2.

Un autre encore est la manière par laquelle Einstein est entré dans la voie de la solution au problème de la relativité générale, en considérant, d'une part, le principe d'équivalence entre un champ gravitationnel homogène et un mouvement uniformément accéléré et, d'autre part, le principe de relativité généralisé à tous les mouvements. Travaillant avec la formulation de l'espace-temps de Minkowski à quatre dimensions, il abandonna (provisoirement) la signification physique des coordonnées et des distances, des temps et des durées, pour laisser libre cours au traitement mathématique, suivant sa logique propre, sans limitations de caractère physique pour les grandeurs (les distances n'avaient plus à être euclidiennes et rigides, les durées n'avaient plus à «couler uniformément» comme le voulait Newton). Il obtint à la fin les équations de la relativité générale et, avec elles, la nouvelle signification physique des grandeurs, qui portaient, dans leur forme mathématique, la métrique non euclidienne donnée par les champs de gravitation.

Je me propose, dans ce qui suit, de développer la thèse suivante : la physique quantique, dans son développement jusqu'à ses problèmes d'interprétation, peut être également considérée, de manière analogue aux exemples que nous venons d'évoquer, comme un cas d'entraînement de la pensée physique par la forme mathématique. Cet aspect, d'une manière générale, n'est pas pris en considération dans les débats sur l'interprétation de la mécanique quantique. Si pourtant, on l'envisageait de cette manière, tout en respectant ses particularités propres (car il présente des différences avec les trois situations rappelées plus haut), il se pourrait bien que les termes du débat sur l'interprétation s'en trouvent substantiellement modifiés.
1.2. Faisons maintenant, en contrepoint à ce qui précède, une autre remarque, cette fois-ci sur la manière par laquelle les physiciens d'aujourd'hui conçoivent et se représentent, «intuitivement» pour ainsi dire, les systèmes physiques dont ils traitent.

Si l'on demande à un physicien quantique d'aujourd'hui comment il décrit les systèmes quantiques avec lesquels il travaille, et comment il pense ces systèmes, il répondra immédiatement dans les termes de la théorie quantique, dans les termes de son «formalisme», comme on dit, qui sont ceux de la mécanique quantique (prolongée dans la théorie quantique des champs). Il parlera de ce système (atomes, particules, rayonnement…) tel qu'il est décrit de manière théorique par son vecteur d'état, défini sur un «espace de Hilbert», et déterminé par les variables dynamiques, qui sont représentées par des opérateurs hermitiques agissant sur ce vecteur d'état. Nous reviendrons plus loin sur ces représentations pour des cas de phénomènes, très éloignés des représentations intuitives et classiques, qui ont été mis récemment en évidence du point de vue expérimental (condensation de Bose, refroidissement d'un atome, diffraction d'un électron ou photon unique, etc.). Il suffit pour l'instant de penser à un système quantique quelconque, atome, noyau, particule élémentaire : les physiciens pensent les systèmes quantiques à travers leur représentation théorique, dite «formelle», et, en vérité, ils n'ont pas d'autre moyen de les penser.

Ils les pensent, certes, en fonction des phénomènes par lesquels ces systèmes se manifestent, décrits à l'aide des variables dynamiques (par exemple, le spin (J) et l'une de ses trois composantes dans l'espace (Jz). Le choix d'un ensemble approprié de ces dernières s'exprime en termes de «préparation», qui doit s'entendre comme préparation d'une base d'«états propres» servant à la représentation de l'état du système (la fonction d'état comme une somme vectorielle formée sur ces états de base). On peut choisir une autre préparation du système par un autre ensemble de variables dynamiques, par exemple, le spin et une autre de ses composantes (Jz), «incompatible» avec la première (leurs opérateurs ne commutent pas, et leurs valeurs propres sont soumises à des inégalités de Heisenberg).

Les physiciens sont habiles à jouer avec ces descriptions théoriques, d'où ils déduisent des propriétés des phénomènes, qu'ils s'attendent à observer  : ils s'y attendent parce qu'ils ont pensé le système physique (quantique) étudié selon sa représentation théorique. Du moins, ils l'ont pensé ainsi jusqu'à ce point. Ils ont pensé les caractéristiques des phénomènes, connus ou prédits, comme étant données par les grandeurs théoriques prises sous leur forme mathématique même. Jusqu'ici, tout pourrait sembler clair : les grandeurs physiques au sens «réel» (ou propre) seraient celles-là mêmes de la théorie : vecteur ou fonction d'état, variables-opérateurs (qu'on appelle communément «observables», selon une tradition qui remonte aux premiers travaux de Heisenberg). En particulier, que le vecteur d'état qui sert à décrire jusqu'à ce stade le système soit une superposition linéaire cohérente des états de base ne constitue pas un empêchement à le concevoir de fait comme une entité physique (ou, plus exactement, comme décrivant une telle entité). Que tous les phénomènes possibles prédits en prenant à la lettre cette considération soient effectivement avérés (nous en reparlerons), cela devrait plutôt conforter cette manière de voir, qui correspond à la pensée «spontanée» du physicien. Du moins à sa «pensée spontanée» quand il en reste à la représentation théorique du système physique qu'il étudie.

Cependant, les choses paraissent moins simples quand on passe de la description théorique au compte-rendu des expériences. Lorsque le physicien d'aujourd'hui vient à rendre compte des caractères ou des propriétés d'un système quantique dans sa relation à l'expérience, on constate couramment une espèce de dissociation dans sa pensée quant à la manière effective dont il conçoit la représentation des systèmes physiques quantiques. D'un coté, il continue de parler et de raisonner en termes des grandeurs quantiques (fonction d'état et matrice densité, variables dynamiques-opérateurs) qui décrivent, dans la théorie, le système considéré ; mais, d'un autre coté, quand il rend compte de la réponse expérimentale de l'appareillage, qui fournit des observations sur les grandeurs classiques correspondant aux états de base de la préparation, il tend à considérer que les grandeurs et les états physiques qui décrivent le système sont ces grandeurs classiques et ces états de base eux-mêmes, exhibant certes des traits non classiques, spécifiquement quantiques, mais d'une manière seulement indirecte et statistique (même s'il s'agit de systèmes individuels).

La réponse de l'expérience est exprimée en termes de probabilités pour un état, «état» signifiant ici un état propre de l'«équation d'état», c'est-à-dire l'une des projections sur la base préparée de la superposition linéaire, cette dernière était l'état considéré par la pensée théorique (l'état quantique dont il était question précédemment). Il est sous-entendu généralement par là qu'une grandeur physique et un état physique sont, nécessairement représentés par des fonctions numériques, et ne sauraient l'être par un opérateur abstrait et une superposition linéaire de fonctions définie sur un espace de Hilbert. Ces derniers auront, dès lors, toutes les apparences de n'être que des fictions mathématiques. Dans cette perspective, la description théorique d'un état quantique ne serait pas une description physique, mais une fiction mathématique intermédiaire, «purement formelle», seuls les états projetés, directement accessibles à la mesure, et correspondant à des grandeurs classiques, pouvant être considérés comme physiques.

Considérons encore que certaines des grandeurs «observables», exprimées comme des grandeurs classiques (par exemple, la position et l'impulsion), et donc comme des fonctions à valeurs numériques, sont liées entre elles par des relations d'inégalité de Heisenberg (dites, selon l'usage, «d'incertitude») ; elles diffèrent des «variables dynamiques» de la description théorique en termes quantiques (opérateurs linéaires hermitiques agissant sur les fonctions d'état au sens quantique), qui obéissent, quant à elles, aux relations quantiques de non-commutation. Ce sont, pourtant, ces propriétés (formelles) de non-commutation des grandeurs quantiques qui gouvernent la propriété (pensée comme non-propriété) des grandeurs classiques correspondantes d'obéir aux inégalités de Heisenberg.

En quelque sorte, en passant au stade de la prise en compte de l'expérience, il semble que l'idée de description physique par la théorie quantique, au moyen de ses grandeurs spécifiques, abandonne le terrain au profit d'une description physique en termes de variables ou grandeurs classiques. Et cependant, la signification physique de ces grandeurs, quant au système quantique étudié, se voit elle-même modifiée par rapport au sens courant de telles grandeurs, puisqu'elles ne peuvent plus être tenues pour des propriétés que le système possèderait indépendamment de la mesure.

On se trouve alors devant la situation suivante, plutôt paradoxale du point de vue conceptuel : les vraies grandeurs physiques seraient les grandeurs classiques (directement mesurables), mais elles ne désigneraient plus des propriétés ou attributs physiques qu'aurait le système, tandis que les grandeurs quantiques (celles de la théorie) ne seraient pas physiques mais seulement mathématiques, tout en exprimant les propriétés effectives du système.
1.3. En réalité, si l'on observe comment la physique quantique s'est progressivement établie, depuis l'hypothèse de la quantification des échanges d'énergie par Planck, jusqu'à l'élaboration de la mécanique quantique, ainsi, d'ailleurs, que dans les développements ultérieurs de la physique du domaine quantique, on constate que la mise au jour de relations mathématiques a permis à la connaissance physique de pénétrer dans le monde atomique et subatomique qui échappait à la connaissance sensible. Ces relations se sont avérées correspondre à des traits physiques caractéristiques des phénomènes quantiques. Or, le statut épistémologique de ces relations a longtemps fait problème, immergé dans les considérations «physico-philosophiques» sur l'«interprétation».

Le cas n'est pourtant pas si radicalement nouveau, si l'on se rappelle de phases précédentes de l'utilisation de grandeurs mathématiques comme «outil de pensée» pour la théorie physique, par exemple en mécanique classique (voir la réflexion citée plus haut de d'Alembert sur l'hydrodynamique), en électromagnétisme, en thermodynamique. Les justifications de cette utilisation étaient liées à diverses «interprétations» de la portée physique des relations mathématiques. A tout bien considérer, il n'en va pas autrement avec la formulation apparemment abstraite de la mécanique quantique. Si tel est bien le cas, le problème de l'interprétation est ramené pour l'essentiel au statut épistémologique des grandeurs quantiques servant à décrire les systèmes physiques. Or, précisément, la compréhension actuelle de la physique quantique amène de façon naturelle à considérer les grandeurs théoriques, sous leur forme mathématique, comme des représentations «directes» des systèmes physiques dans le domaine quantique. Reste ensuite à évaluer ce que cela entraîne comme changements (et simplifications) sur les problèmes d'interprétation.


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