Résumé : Electromagnétisme et ondes








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Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre

Résumé : Electromagnétisme et ondes.


Chapitre 1 : La charge électrique

Electromagnétisme.

C’est une des forces fondamentales.

Elle est responsable de la structure de la matière, de l’atome aux êtres vivants.

Applications technologiques

Electromagnétisme ¡æcompréhension de la nature de la lumière ¡æ relativité restreinte.

La charge électrique.

2 types de charges, arbitrairement appelées positives et négatives.

La charge électrique est quantifiée : e est la charge de l’électron.

Remarque :

L’origine de la quantification de la charge est l’inconnue.

La charge de l’électron et du proton sont exactement égales en valeur absolue.

La charge électrique est conservée. ( somme algébrique des charges initiales = somme algébrique des charges finales).

L’unité de charge est le Coulomb (C) . La charge de l’électron vaut 1.6 10-19 C

Interaction de charges électriques , loi de Coulomb.

Des charges de même signe se repoussent, des charges de signe contraire s’attirent. C’est la loi de Coulomb.

µ §

µ §

Remarques :

Cette loi est valable de 10-14m jusqu’à de très grandes distances ( 109m).

Si la loi était en µ §, la limite actuelle sur n est inférieure à 2 10-16. Le coté « fondamental » de la loi est marqué que pour la gravitation qui doit être englobée dans une formulation plus générale.

Principe de superposition.

Pour obtenir la force sur une charge exercée par deux ou plusieurs charges ¡æon calcule les forces individuelles et on fait ensuite la somme vectorielle de ces forces : principe de superposition.

Conséquences :

La présence d’une troisième charge n’a pas d’influence sur la force exercée entre deux charges.

Un problème compliqué peut-être subdivisé en une série de problèmes simples.

Remarques :

Le principe de superposition se retrouve dans beaucoup de domaines : gravitation, en électricité, optique ondulatoire, en méca quantique mais il ne s’applique pas en relativité générale.

Distribution de charges.

Lorsqu’il y a beaucoup de charges et qu’on est à relativement grande distance de celle-ci , il faut considérer que la charge est uniformément distribuée sur un volume , une surface ou une ligne.

Densité de charge volumique :ñ (C/m³)

Densité de charge de surface : ó (C/m²)

Densité de charge linéaire : ë (C/m)

Une charge est distribuée uniformément avec une densité ë sur un fil très long et très fin. Quelle est la force exercée sur une charge q près du fil ?

µ §

Les composantes de dFz vont se compenser.

µ § et donc µ §

Or : z=x tgè

Dz= x sec² è dè

R= x secè

Sec è= µ §

µ §

Chapitre 2 : Champs électrique , loi de Gauss.

Champ électrique.

Exemple de champs

-champ de gravitation : en tout point de l’espace

- Champ des vitesses dans un fluide

- Si g et v ne dépendent pas du temps on parlera de champs stationnaire.

Remarque :

Dés que les charges sont en mouvement l’emploi du concept de champ est obligatoire pour décrire le temps fini que met la perturbation due à la mise en mouvement de la 1ère charge pour parvenir à la 2ème

La charge est source de champs électrique au même titre que la masse est source de champs gravitationnel

Pour mesurer un champs électrique, on place une charge dans celui-ci et on mesure la force subie. La force subie est donc la force par unité de charge, sa direction est celle de la force si la charge est positive.

µ §

Calcul du champs électrique.

Si on place une charge q1, à une distance r d’une charge q, la force sur q1, sera

µ §

Le champs sur q1 du a q : µ §

µ §

Champs électrique résultant d’une distribution de charge , le principe de superposition donne :

µ §

Où les charges qi sont situées à une distance ri du point où on calcule le champs.

(N.B ne pas confondre charge et champs : la charge crée le champ qui à son tour agit sur une autre charge mais le champs d’une charge n’agit pas sur le champ d’une autre charge ¨C bien qu’émanation d’une charge , le champs est lui-même neutre).

Application : le dipôle électrique.

Le champ électrique n’a qu’une composante selon x :

µ §

Or µ §

D’où :

µ §

A grande distance du dipole y>>>a

µ §

Remarque :

Le champs résulte de la séparation entre les charges , le dipole est neutre.

A grande distance, le dipole est caractérisé par son moment dipolaire (=2qa en C*m)

Le moment dipolaire est considérer comme un vecteur, de longueur =2qa, de direction de la charge ¨C vers la charge +.

Calcul du champs produit par une distribution de charge

Par le principe de superposition à de petits éléments de champs dE produits par des charges dq :

µ §

Dans le cas des distributions homogènes : dq=ñdV (volume), dq=ódA (surface) , dq=ëdx (ligne).

On avait calculé Fx à une distance x d’un conducteur rectiligne infini

µ §

Lignes de champs électriques.

Soit on représente les lignes de champ électrique

Ligne telle que la tangente en chaque point représente la direction du vecteur E en ce point.

Le sens de E est donné par la flèche sur la ligne

Problème de la représentation de la grandeur E

La densité de lignes de champ (le nombre de lignes croisant une surface unitaire perpendiculaire à la direction de la ligne) va représenter la variation de la grandeur de E.

On trace nl lignes pour une charge nq

La valeur absolue du nombre de lignes que l’on choisit de représenter est arbitraire.

Les lignes de champs « partent » des charges positives pour arriver aux charges négatives. Elles ne peuvent se croiser.

Le nombre de lignes de champ croisant une surface fermée est proportionnel à la charge totale enfermée par la surface.

Flux électrique.

On a vu que le nombre de ligne de champs :

Était proportionnel à E

Est proportionnel à la surface normale à la direction de la ligne de champ donc à Acosè (A= surface , è= angle entre E et la normale à la surface).

Nombre de lignes est proportionnel à EA cos è. Si on désigne par A un vecteur normal à la surface et de longueur proportionnel à la grandeur de la surface.

On appellera flux électrique µ §

Si la surface est courbe et/ou E varie de point en point on aura toujours pour de petites surfaces µ §



Théorème de Gauss

Le flux électrique à travers une surface fermée quelconque est proportionnel à la charge totale incluse dans la surface.

µ §

Calculons le constante de proportionnalité en prenant une sphère de rayon r autour d’une charge q

On a : µ § et è est toujours nul.

Mais : µ §

µ §

Donc : µ § C’est la loi de Gauss.

Remarque :

Le facteur 4ð a été mis dans la loi de Coulomb

Si on admet la loi de Gauss, la loi de Coulomb s’en dérive directement par le raisonnement inverse de celui-ci-dessus pour déterminer la normalisation.

Application du théorème de Gauss.

Symétrie sphérique

Une distribution de charge a une symétrie sphérique si la distribution de charge ne dépend que de la distance à un point particulier appelé centre de symétrie.

La surface de Gauss sera une sphère de rayon arbitraire r centrée sur le centre de symétrie.

Comme E est toujours perpendiculaire à la surface, µ §et donc :

µ §

Distribution de charge totale Q contenue dans une sphère de rayon R ( r¡ÝR) :

µ §

Le même champ que si on avait eu une charge ponctuelle Q concentrée en r=0.

Du centre jusque et sur la surface de la sphère, quelle que soit la distribution de q = même champ.

Pour un champ à l’intérieur (r
µ §

µ §

Coquille sphérique mince :

Champ à l’extérieur : µ §

Champ à l’intérieur : Q est nul donc µ §

Le champs en P créé par le petit nombre de charges sur la surface « a » est exactement compensé par le plus grand nombre de charges sur la surface « A ».

Pour calculer E en général :

Étudier la symétrie pour essayer de construire une surface telle que la grandeur de E et la direction de E par rapport à la surface soit constant

Évaluer Ö en fonction de E

Évaluer la charge incluse Q

Utiliser la loi de Gauss et extraire E

Symétrie axiale cylindrique

La distribution de charge :

Se prolonge à l’infini des deux côtés

Ne dépend que de la distance r à l’axe de symétrie on prendra comme surface de Gauss un cylindre de rayon r et de longueur l, de même axe que la distribution de charge : E est toujours perpendiculaire à cette surface.

µ §

µ §

µ §

µ §

Si on a une charge linéaire de densité : ë : qinclu=ël

Et µ §

Symétrie plane.

LA densité de charge ne dépend que de la distance perpendiculaire au plan : E doit être perpendiculaire au plan.

µ §

µ §

Si on a une surface infinie de densité de charge constante ó : qinclu=óA

µ §

Chapitre 3 : La matière dans un champs électrique

Charge dans un champ électrique

µ §

Conducteur et équilibre électrostatique

Conducteur : les électrons ne pas liés aux atomes individuels mais libres de se mouvoir.

Équilibre électrostatique : soit un conducteur placé dans un champ électrique uniforme E. Les électrons vont se déplacer vers la gauche sous l’effet de la force électrique qE, on a alors séparation de charges dans le conducteur , conséquence le résultat est la création d’un champ électrique de droite à gauche.

Le champ total sera la somme des champs et donc plus petit que le champ initial. Le mouvements des charges ne s’arrêtera que quand le champ total est nul donc quand E et Er se compenseront.

A l’équilibre électrostatique , le champ dans un conducteur est toujours nul indépendamment de la forme du conducteur, du champ appliqué, de la nature du conducteur.

Conducteur et loi de Gauss.

À l’équilibre pas de champ dans le conducteur.

Pas de flux à travers la surface de Gauss , donc il ne peut y avoir de charges contenues dans la surface, s’il y a excès de charges, elles doivent se trouver à l’extérieur donc sur la surface du conducteur.

Dans un conducteur il n’y a pas de champ électrique et les charges en excès sont sur sa surface.

Ce comportement est un test de la loi de Gauss , donc de la dépendance en 1/r² de E :

Placer un conducteur non chargé dans un conducteur creux.

Charger le conducteur creux

Détecter tout mouvement de charges vers le conducteur intérieur : s’il n’y en a pas : loi en 1/r² : OK !

Champ électrique à la surface d’un conducteur chargé.

pour une petite surface : courbure du conducteur négligée

pas de flux à travers le tour de la boîte ( cosè= 0)

pas de flux à travers la surface sur le conducteur (car E est nul à l’intérieur du conducteur)

µ §

µ §

Dipole dans un champ électrique

Le moment dipolaire p est un vecteur de grandeur q.d et orienté de ¨Cq vers +q. Les deux charges étant soumises à des forces de sens contraire -> couple qui tend à faire tourner le dipole et à l’aligner avec la direction de E.

µ § est le couple associé à la charge +q.

Pour ¨Cq : couple identique

Couple total = µ §

Couple sur un dipole : µ §

Travail pour écarter le dipole de la direction du champ :

µ §

Si on prend le zéro du potentiel pour è0=ð/2 , le théorème travail-énergie donne U=-pE cos è

Donc µ §

Conversion de l’énergie potentielle en énergie cinétique de rotation et vice-versa pour une molécule isolée, pour une molécule non- isolée : amortissement, l’énergie libérée produisant un échauffement.

Dipole dans un champ électrique non homogène.

- Le dipole CD continue à avoir une tendance à s’aligner avec E

- le Dipole AB est aligné mais le champ étant plus fort en B qu’en A, la force positive sur B est supérieure à la force négative sur A.

µ §

Or µ §

Résultat valable seulement pour p et E alignés avec x, en général :

µ §

Dipole et forces de Van Der Waals

Soient deux dipôles , le champ B du au dipole A est :

µ §

Au niveau de B le champ n’est pas homogène et donc la force subie par B est : µ §

Finalement : µ §

Même pour une molécule non dipolaire, des fluctuations peuvent créer un dipole temporaire dont le champ va créer une séparation de charges et donc un moment dipolaire induit dans les molécules voisines. La force est proportionnelle à 1/x4 et à p2 , lui-même proportionnel à E de la molécule donc en 1/x³. Le tout donne une force attractive à très courte portée (1/x7) : Force de Van Der Waals.

Diélectriques.

Molécules polaires : qui a un moment dipolaire intrinsèque, de telles molécules vont s’aligner (à l’agitation thermique près) avec un champ E extérieur.

Molécule non polaire : un champ extérieur peut créer une séparation de charges donc un dipole (aligné avec E). en général le moment induit est proportionnel à E .

On appelle diélectrique une substance qui a un moment dipolaire intrinsèque ou induit ( ce sont les isolants).Placés dans un champ électrique, les dipôles vont s’aligner avec celui-ci, les champs produits par les dipôles s’opposent au champ extérieur et réduisent donc le champ dans le diélectrique. Cette réduction dépend, de la grandeur du moment dipolaire, du degré d’alignement, de la température.

µ § ou K est une constante diélectrique.

K est une mesure de la qualité de l’isolant, il détermine la vitesse de transmission d’un signal et est lié à l’indice de réfraction.

Chapitre 4 : Le potentiel électrostatique.

Définition.

La différence de potentiel électrique entre deux points A et B sera le travail par unité de charge à fournir pour se déplacer de A en B.

µ §

Le chemin de A en B, sous l’influence d’un champ électrique peut toujours être décomposé en chemins élémentaires, soit le long d’une ligne de champ contribuant à l’intégrale et donc au potentiel, soit perpendiculaire à la ligne de champ et donc de produit scalaire nul : seul A et B vont compter et non le chemin suivi.

La différence de potentiel peut être positive ou négative

On doit fournir du travail pour déplacer une charge positive à travers une différence de potentiel positive.

Une charge positive fournit un travail au monde extérieur lorsqu’elle se déplace dans une différence de potentiel négative.

On parlera abusivement de potentiel d’un point A en désignant en fait la différence de potentiel entre A et un point de référence arbitraire auquel on donne une valeur nulle de potentiel.

Unités : - différence de potentiel : Joules/ Coulomb ( Volt)

Donc E : V/m

1eV= 1.6 10-19J.

Implication du fait que E soit conservatif

E statique est conservatif :

µ §

D’où une ligne de champ ne peut pas former une boucle fermée , sinon cette boucle :
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