A electricite generale electromagnetisme








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A.1. ELECTRICITE GENERALE ELECTROMAGNETISME

Sommaire






Grandeurs magnétiques :

Le vecteur champ d’induction magnétique : µ §

Définition

Le champ d’induction magnétique µ § traduit l’effet du mouvement des charges électriques :

µ §

C’est une grandeur vectorielle dépendant de l’espace (position) et du temps. L’induction s’exprime en tesla (T).

Si les charges parcourent un conducteur électrique, on écrit localement la loi de Biot et Savart

µ §

La sommation de cette loi permet d’obtenir l’effet de toutes les charges en un point de l’espace.

Si le vecteur champ d’induction est identique en tout point de l’espace, le champ est dit uniforme.

Dans les problèmes technologiques que nous rencontrerons, l’induction magnétique sera une grandeur connue. Elle ne sera pas à déterminer par les relations précédentes.

Ordres de grandeur

20 µT : champ magnétique terrestre

quelques 10 mT : aimants ordinaires

quelques 100 mT : aimants de machines tournantes

1 T : champ produit par les enroulements de machines tournantes, transformateurs.

Limites

40 T : champ stationnaire produit par plasma, électro aimants supra conducteurs

700 T : Champs impulsionnels de laboratoire

Lignes de champ

µ §µ §µ §Aimant droit (du N vers S)Fil parcouru par un courant : µ §

(règle de la main droite ou du tire bouchon)µ §µ §Aimant en U (du N vers S)Bobine parcourue par un courant : µ §

(règle de la main droite ou du tire bouchon)

Le vecteur champ d’excitation magnétique : µ §

Définition

Le vecteur H (exprimé en ampères par mètre (A/m)).caractérise le circuit électrique, source de champ magnétique. Il est indépendant du milieu où est placé le circuit électrique.

Le vecteur B caractérise le champ magnétique. Il dépend de la source de champ magnétique mais aussi du milieu

Les deux vecteurs sont reliés par la relation :

µ §B est en TeslaH en A/mµ0 = 4ƒà.10-7 V.s.A-1.m-1µ est relatif au matériau qui canalise B, il peut varier avec H ce qui rend souvent cette relation non-linéaire.

Théorème d’Ampère

La circulation du vecteur champ d’excitation magnétique µ § le long d’un contour fermé (C) orienté par sa normale (règle du tire-bouchon) est la somme algébrique des courants traversant la surface s’appuyant sur le contour (C).

Le théorème d’ampère décrit la force magnéto motrice f.m.m. µ § d’un contour fermé

µ §µ § en A. tr (Ampères Tours)H en A/mµ § en mI en A

Dans de nombreux cas le choix du contour simplifie le problème. En effet si le contour suit les lignes de champ alors µ § et µ § sont colinéaires donc µ § devient µ §

Lois fondamentales du magnétisme :

Flux d’induction magnétique et fém liée à sa variation : Loi de Faraday

µ §

Vecteur normal µ § - vecteur surface µ §

Ils sont définis pour une spire:

µ § est un vecteur qui oriente la normale à la spire:µ §. (sans unité).

µ §

µ § est orienté par la règle de la main droite en utilisant un sens de rotation positif arbitraire. (pour simplifier on prend souvent le même sens que le courant i)

µ § µ § µ §est colinéaire à µ § (même direction et même sens).

Flux d’induction magnétique:

Le flux magnétique µ § du champ magnétique µ § à travers une spire orientée de surface S est égal au produit scalaire des vecteurs µ § etµ §: µ §

calculé pour une surface quelconque µ §

µ § en Weber (Wb); µ §en T et µ § en m2.

Si on considère un circuit comprenant N spires:µ §

Tube d’induction:

Un tube d’induction est l’ensemble des lignes d’induction s’appuyant sur deux contours fermés (C1) et (C2)

Le flux sortant d’un tube de champ est nul.

Ceci traduit une propriété essentielle du flux, à savoir qu’il est conservatif

µ §

Loi de Faraday:

Le phénomène liant la tension aux bornes d’une spire au flux la baignant est traduit :

sur le plan qualitatif (expression de l’opposition) par la loi de Lenz : Le courant induit, par ses effets, s’oppose à la cause qui lui a donné naissance.

sur le plan quantitatif par la loi de Faraday.

Une spire ouverte baignée par le flux µ § variable voit apparaître à ses bornes une force électromotrice (fem) s’exprimant en convention générateur par : µ §

Le sens de la fém induite ne dépend pas des conventions d’orientations choisies.

Rappels sur les conventions utilisées : le courant et la tension sont orientés de façon à ce que la boucle soit un générateur et µ § est orienté comme le champ propre.

On approche le pôle nord d’un aimant:

ƒ¶ > 0 et µ § croissant donc µ § soit u21 < 0

µ §

On approche le pôle nord d’un aimant:

ƒ¶ < 0 et µ § croissant donc µ § soit u12 >0 .

µ §


Loi de Lenz

Le courant induit par ses effets s’oppose à la cause qui lui a donné naissance


Force appliquée sur une particule ou un conducteur :

µ §

Un champ magnétique exerce sur les charges électriques en mouvement des forces qui sont responsables des mouvements observés.

Dans le cas des particules chargées : Loi de Lorentz

La force de Lorentz, appliquée à la particule est le produit vectoriel µ §

Dans le cas d’un conducteur parcouru par un courant I: loi de Laplace

Les charges se déplacent dans le conducteur tel que

q = i . t et µ § donc µ §

On définit le vecteur µ § : vecteur orienté dans le sens de I et de norme égale à la longueur de fil plongé dans le champ µ §

La force exercée par le champ magnétique sur le conducteur est appelée force de Laplace:

µ §

Le travail des forces de Laplace :

µ §

La variation d’énergie occasionnée par le déplacement d’un élément de circuit est égale au produit du courant par le flux coupé.


Applications :

Déviation des faisceaux d'électrons dans un tube TV:

Un champ magnétique permet d'obtenir une déviation très importante des faisceaux d'électrons. On peut utiliser des tubes de faible profondeur par rapport à la taille de l'écran.


Effet Hall:

On considère un solide semi-conducteur dans lequel on impose un courant d'intensité i. On le soumet à un champ magnétique perpendiculaire au courant i.

Il apparaît sur l'axe xx' du solide une tension appelée tension de hall proportionnelle à l'intensité du champ magnétique.

On réalise ainsi un capteur permettant de mesurer l'intensité d'une composante (suivant l'axe zz') d'un champ magnétique et de déterminer son orientation.
µ §
Le haut-parleur:

Un HP est constitué d’un aimant permanent de forme particulière et d’une bobine parcourue par un courant et pouvant coulisser sur l’un des pôles de l’aimant. La bobine est solidaire d’une membrane M . La circulation d’un courant dans la bobine engendre des forces de Laplace sur les spires de la bobine. Un courant variable fait vibrer la bobine donc la membrane au rythme du courant. Cette vibration se répercute sur l’air d’où la production de son

µ §
Moteur à courant continu:

Un moteur à courant continu est constitué par un enroulement (donc équivalent à plusieurs cadres) parcouru par un courant continu et soumis à un champ magnétique pratiquement uniforme.

µ §
Les appareils de mesure magnétoélectriques :

µ §
Un galvanomètre magnétoélectrique est constitué d’un cadre vertical et rectangulaire mobile monté sur un noyau ferromagnétique et placé dans l’entrefer d’un aimant.

Le champ magnétique est radial dans l’entrefer, c’est à dire perpendiculaire à l’axe de rotation du cadre. Lorsqu’on fait circuler un courant I dans le cadre, les conducteurs parallèles à l’axe sont soumis à des forces de Laplace qui s’opposent au ressort et qui tendent à faire prendre une position d’équilibre au cadre directement proportionnelle au courant I.
Les câblages

Une boucle quelconque dans un circuit électrique constitue une spire qui devient le siège d’une fem induite : les circuits sont perturbés (boucles importantes, signaux rapides, courants si boucles fermées). Ces phénomènes s’atténuent) en diminuant la surface des boucles par un câblage adapté ou en compensant les fem par inversion régulière du sens de bouclage (tressage des conducteurs)

Les circuits magnétiques linéaires :

Linéarisation :

La courbe d’aimantation traduit le comportement non linéaire des matériaux pour lesquels on observe le cycle d’hystérésis.

On peut effectuer des simplifications plus ou moins partielles qui conduisent chacune à leur modèle. Les simplifications sont classées en considérant les grandeurs conservées parmi Br, Hc et Bsat. Dans la dernière modélisation, le matériau est B est totalement linéaire. On a alors :B = µ0µrH , où la perméabilité relative ìr est constante. Si ce coefficient est très grand au point d’être considéré infini, on dit alors que le matériau est idéal.

Cette hypothèse considérant le matériau linéaire est la plus avancée.
Circuit magnétique parfait:

Pas de lignes de fuites : Si tout le champ créé est uniquement destiné au circuit magnétique, on dit qu’il n’y a pas de fuites.

L’induction magnétique est uniforme, constante et orthogonale à chaque section droite du circuit magnétique donc µ §

Au niveau de l’entrefer, les lignes de champ se déforment. On suppose donc que le champ reste dans prolongement de l’entrefer, c’est à dire que la section de l’entrefer et du circuit magnétique sont les mêmes. C’est une autre manière de considérer que les fuites sont nulles au niveau de l’entrefer.

Circuit linéarisé : B = µ0µrH. avec µ constant

Conséquences : relations d’Hopkinson:

Dans le circuit magnétique µ § est uniforme, constante sur une section droite du circuit magnétique et le long de la ligne de champ moyenne (l).

Comme µ §.

Théorème d’Ampère (sur la ligne moyenne) : µ § On a alors : µ § d’où la relation µ §

Il apparaît donc une relation linéaire entre la force magnétomotrice µ § (fmm) et le flux µ § , Ceux-ci étant liés par les paramètres physique du matériaux :µ , µ § et S. On regroupe donc les paramètres physiques sous un seul terme de reluctance µ §

Comme le circuit ne présente pas de fuites de flux , on considère donc que le flux est conservatif.

Si plusieurs bobinages coexistent, il faut sommer les influences des fmm : µ §

Le coefficient µ § traduit le sens de la fmm. Il est obtenu en appliquant la règle des points homologues : Des courants entrants par les points homologues de différents bobinages placés sur un circuit magnétique créent des forces magnétomotrices qui s’ajoutent

On écrit donc la relation d’Hopkinson : µ §

Analogie électrique:

Grandeurs magnétiquesGrandeurs électriquesForce magnétomotrice : µ §en A ou A.trForce électromotrice : E en Volts (V)flux d’induction : µ § en Webers (Wb) Courant électrique : i en Ampères (A)Réluctance : µ §Résistance : µ §ddp magnétique : µ §ddp électrique : U = R Imaille magnétique µ §Maille électrique : µ §nœud magnétique µ § nœud électrique : µ §Association série µ §µ §Association série µ §µ §Association parallèle : µ § Association parallèle : µ §µ §Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer:

Les circuits magnétiques ont été jusqu’à maintenant étudiés dans le cadre de l’approximation linéaire d’Hopkinson : les circuits magnétiques sont parfaits, c’est à dire linéaires (ìr constant) et exempts de fuites magnétiques (tout le flux créé par les enroulements apparaît dans le circuit magnétique).

µ §

Dans les applications industrielles, l’approximation linéaire n’est plus de mise car l’exploitation des matériaux ne se cantonne pas aux inductions faibles, là où la linéarité est garantie. L’exploration des zones saturées permet de décrire plus justement les phénomènes observés.

On schématisera la bobine avec noyaux de fer ainsi :

Rappels sur la bobine sans noyau de fer en régime linéaire:

Relations:

Dans une bobine sans noyau de fer la tension à ses bornes est la somme des tensions induites sur chacune des spires : µ §.

L’écriture de la loi d’Hopkinson dans une bobine sans noyau donne µ § avec µ § donc

µ § soit µ § où l’on retrouve le coefficient de proportionnalité µ § inductance de la bobine en Henry (H) Ce coefficient reste constant car la perméabilité µ0 ne change pas.

De même cette proportionnalité est retrouvée entre le flux dans une spire et le courant qui la traverse :

On retrouve µ § où µ § est le flux vu par l’ensemble des spires et L l’inductance vue précédemment.

Exemple : Calculer l’inductance d’une bobine torique de 200spires de périmètre 60 cm et dont les spires font en moyenne 10 cm de rayon.

Modèle équivalent:

Afin de tenir compte de la résistance des fils on ajoute une résistance r

µ §

Caractérisation de la bobine à noyau de fer en régime linéaire:

Modélisation de la bobine à noyau de fer en régime linéaire:

Toutes les lignes de champ créées par l’enroulement n’apparaissent pas dans le circuit magnétique. Pour des raisons essentiellement de fabrication, certaines d’entre-elles se rebouclent dans l’air proche des spires. On distingue le flux dans le matériauµ § du flux de fuite s’en échappant µ § ainsi le flux embrassé par l’enroulement s’écrit : µ § et par la loi de Faraday la tension est µ § et comme la loi d’Hopkinson nous donne µ § si on pose µ § alors : µ §

(avec . µ § mais pour laquelle µ § n’est pas physiquement définit car il ne correspond pas à un parcours précis)

Et comme µ § alors µ §

On peut rajouter le caractère résistif du fil ainsi les 3 paramètres suivants caractérisent la bobine :

Résistance : µ §

Coefficient d’auto induction : µ § ainsi µ §

Inductances de fuites : µ §

µ §

La tension et le courant ne sont pas reliés directement. Pour pouvoir exprimer directement le flux, on réalise l’hypothèse de Kapp.

Remarque : pour réduire les fuites les enroulements sont placés au plus près du circuit magnétique. Les dispositions pratiques consistent à utiliser des circuits magnétiques cuirassés ou toriques :

Rappel : l’énergie stockée dans cette bobine est µ §

Comportement simplifié dans l’hypothèse de Kapp: µ §

La tension alimentant la bobine est µ § donc µ § donc µ § ainsi en identifiant les amplitudes on obtient la relation de Boucherot : µ § où le flux et la tension sont sinusoïdaux. On travaille à flux forcé.

La loi d’Hopkinson nous rappelle que µ § donc µ § et l’on retrouve la définition de l’inductance en régime sinusoïdal : Z= Lƒç

Dimensionnement physique d’une bobine

Caractérisation de la bobine à noyau de fer en régime non linéaire: saturation du matériau

Dans les applications industrielles, les grandeurs sinusoïdales tensions et courants ont des amplitudes élevées. Par conséquent, la saturation est vite atteinte. On ne peut plus tenir compte de la linéarité du matériau (ìr n’est pas constant). La réluctance et l’inductance ne peuvent plus êtres définies. De plus, le parcours répétitif du cycle d’hystérésis nécessite de tenir compte des influences énergétiques. Cette nouvelle donne incite à reconsidérer l’étude des circuits magnétiques en régime saturé.

Influence du cycle d’hystérésis sur la forme du courant.

Les étapes sont µ § puis µ § puis µ § puis µ § puis µ §

Le courant dans la bobine est périodique mais non sinusoïdal. Il est d’autant plus « déformé » que le circuit magnétique est saturé.

La distorsion du signal est marquée par le taux d’harmoniques. Si la déformation est faible, une approximation au premier harmonique est envisageable. On ne travaille alors qu’avec le courant fondamental.

Dans le cas général, il faut envisager l’influence de toutes les harmoniques. Dans ces conditions, on recherche une représentation sinusoïdale du courant qui transporte la même puissance que le courant réel.

Cette équivalence est obtenue en travaillant avec la puissance.
Expressions des pertes dans les bobines.

DénominationExpressionParadePertes ferPertes par courant de Foucault

(liés aux courants induits)µ §

et µ §Utiliser un matériau plus résistif : fer avec addition de silicium, ferrite.

Augmenter la résistance au passage des courants: circuit magnétique composé de tôles (feuilletage) isolées entre elles par oxydation surfacique.Pertes par Hystérésis

(lié à l’irréversibilité donc à l’aire du cycle)µ §Puisque les pertes sont directement conditionnées par l’aire du cycle d’hystérésis, il faut les réduire en utilisant, par exemple, des matériaux ferromagnétiques doux.Les pertes fer sont aussi chiffrées empiriquement par la formule de Steinmetz :

µ § avec sachant que la masse volumique des alliages à base de fer est de 7800 kg/m3

Pour B=1 T f = 50 Hz ƒØPfer en W/kgTôle au silicium 3 à 4 %27,50,18Fer pur (électrolytique)800,51Fer doux250 à 5001,6 à 3,2Acier à 1% de carbone375024Acier à 1% de carbone, trempé850054

Modélisation de la bobine saturée.

µ §

Comme nous venons de le voir la puissance transmise à la bobine est en partie perdue en pertes fer. La mesure de la puissance active avec un wattmètre fournit la somme des pertes fer :µ § .On peut modéliser ces pertes par une résistance Rf soumise à la tension u(t).

Dans le cadre de l’approximation de Kapp : des pertes fer et du déphasage on déduit µ § etµ §.

On notera tout de même que ces paramètres ne traduisent qu’une approximation car Rf et L ne sont pas constant et dépendent de la saturation du matériau et de la fréquence d’utilisation
Pour tenir compte des paramètres ƒÜf et r il suffit de les rajouter.

Une mesure de U et I en continu permet de déterminer r

La représentation de Fresnel des divers courants et tensions est la suivante

µ §
Mesures pour la détermination du modèle équivalent.

µ §

Les milieux magnétiques, aimants permanents:

Domaine de Weiss , paroi de Bloch

Classification:

Dans le vide les vecteurs champ d’induction magnétique µ § et champ d’excitation magnétique µ § sont colinéaires puisque liés par la relation µ § où ì0 est la perméabilité magnétique du vide (T.m/A).

Dans un milieu magnétique quelconque mais isotrope, ces vecteurs restent colinéaires. Cependant, le coefficient de proportionnalité dépend du matériau. On définit le vecteur aimantation µ § qui indique l’influence du milieu.

Champ d’excitation et aimantation se superposent pour exprimer le champ d’induction :

µ §

Où :

µ § est la susceptibilité magnétique (dépend de µ §)

µ § le vecteur aimantation (dépend de µ §) .

µr la perméabilité relative.

µ la perméabilité absolue.

µ §

Courbe de première aimantation d’un matériau ferromagnétique:

µ §Le tracé de cette courbe s’est effectué avec un courant croissant et sans jamais revenir en arrière
Cycle d’hystérésis de divers matériaux

Pour certains matériaux le fait de revenir en arrière fait apparaître un dédoublement de la courbe qui dépend du passé magnétique du matériau qui présente ainsi un effet de mémoire

µ §µ §

µ §

Un dédoublement prononcé est caractéristique des matériaux dits durs ( Br plutôt élevée, Hc plutôt élevé sup à 100 A/m, surface du cycle élevée) Aimants. On ne peut raisonnablement pas vraiment parler de µr

Si le dédoublement est très faible le matériaux est dit doux ( Br plutôt faible, Hc plutôt faible : inf à 100 A/m , surface du cycle faible) donc pas de pertes donc transfo, carcasse de machine. Ces matériaux utilisés pour guider les lignes de champ présentent un µr relativement important¡K


Droite de charge : Calcul de longueur d’aimant

Un aimant est utilisé en principe comme source de champ magnétique dans un moteur par exemple.

Il faut donc déterminer les caractéristiques de cet aimant.

On ne s’intéressera qu’à la zone utile de la courbe d’hystérésis de l’aimant

µ §

Le théorème d’Ampère appliqué à la ligne de champ moyenne :

µ § car aucun courant n’est enlacé par le contour

µ §

On considère le flux conservatif donc égal dans l’air de l’entrefer et dans l’aimant :

µ §

µ §

µ § est négligeable car µ est très grand comparé à µ0

µ §

Cette équation fait ainsi apparaître une droite appelée droite de charge µ §

Son intersection avec la courbe d’hystérésis de l’aimant donne le point de fonctionnement.

µ §

µ §

Comme on souhaite avoir le maximum d’énergie magnétique pour un minimum de volume d’aimant µ § : il faut que le produit de B par H (aire du rectangle) au point de fonctionnement soit maximum.

Ce point d’énergie magnétique maximum est déterminé par le critère d’Evershed que l’on peut trouver lorsque la tangente à la courbe (droite en pointillés) et la droite reliant ce point à l’origine (droite de charge) forment un triangle isocèle (OAC)

Ce point d’énergie magnétique maximum nous impose donc le champ B

Ainsi la longueur d’aimant à usiner est donnée par µ §

Désaimantation : droite de recul

Les étapes de l’insertion d’un aimant dans un circuit magnétique fait apparaître certains inconvénients qu’il est bon de garder en tête.

Nous avons vu précédemment que le point de fonctionnement dépend de l’entrefer mais nous allons voir un phénomène appelé droite de recul qui peut s’avérer très gênant :

Lors de la création d’un circuit magnétique : on se dote du matériau ferromagnétique qui servira d’aimant ƒñ puis en fermant le circuit par un matériau douxƒò et en excitant l’ensemble par une bobine parcourue par un courant alternatif ƒó on obtient alors l’aimant qui sans excitation présente dans ce circuit fermé le champ magnétique rémanent Br ƒô. Lors de l’ouverture du circuit le point de fonctionnement va se placer en un point correspondant à l’entrefer ainsi créé ƒõ puis lorsque l’on place le rotor d’un moteur dans cet entrefer ainsi créé le point de fonctionnement au lieu de remonter sur la courbe de l’aimant prend le chemin d’une droite appelée droite de recul (qui est parallèle à la tangente à l’origine) ƒö.

Ceci met en évidence les soins à avoir lors de la création d’un moteur et surtout l’attention à al*voir lors d’une éventuelle réparation du rotor qui lors de son retrait de l’entrefer aura pour conséquence de désaimanter le circuit de façon permanente (cas de nombreux moteurs Axem) sauf si le circuit est prévu pour être aimanté une fois le rotor mis en place

µ §
Les électroaimants:

Principe

Un électroaimant génère une force .Le circuit magnétique se déforme de façon à rendre le flux le plus grand possible (donc en diminuant la reluctance du circuit, c'est-à-dire en diminuant l’entrefer)

Pour l’étude on considèrera le circuit magnétique parfait donc on définira la reluctance du circuit en fonction de l’entrefer x. La résistance du circuit est nulle donc R=0. Les parties mécaniques glissent sans frottement.

Energie magnétique

L’expression de la densité volumique d’énergie magnétique est : µ §

Pour un circuit magnétique parfait µ § alors µ §

Si l’on considère le champ µ § et la section µ § constants, alors on peut écrire simplement l’énergie contenue dans le circuit magnétique composé :

Du fer : µ §

De l’entrefer : µ §¨

Donc en sommant les énergies contenues : µ § doncµ §

Force générée:

L’énergie apparaît sous forme électrique, magnétique ou mécanique.

Le système étant étudié en translation, l’expression de chacune d’entre-elles est effectuée pour une variation élémentaire du tempsµ §, du flux µ § ou du déplacement µ §.

Le bilan énergétique permettra de déterminer l’expression de l’énergie magnétique µ §.

Toute l’énergie électrique est convertie en énergie magnétique ou mécanique donc : µ §

Or la variation d’énergie électrique µ § et µ § donc µ §

Et la variation d’énergie mécanique : µ §

Donc µ §

La différentielle du flux fait apparaître µ §

Par identification on ressort : µ § et µ § soit µ §

Si le courant est continu la loi d’Hopkinson devient : µ § donc µ §

Ainsi µ § et comme l’entrefer se réduit au minimum à une distance e alors µ §

Remarques technologiques:

Dans un électro-aimant de contacteur (par exemple), l’entrefer est d’abord important car le circuit magnétique est ouvert. Pour assurer la force de décollement, il faut augmenter le courant I. Or, les bobines sont alimentées en tension, si bien que le courant est élevé au début de la fermeture, puis diminue à mesure que l’entrefer se ferme. C’est ce qui justifie le courant d’appel à la fermeture des contacts.

Si le courant est sinusoïdal la force F s’annule deux fois par période de la tension u(t) et ses fluctuations sont la source de vibrations dans le domaine audible (100 Hz). La solution consiste à superposer un flux déphasé au flux principal. Pour cela, on ajoute un circuit magnétique dans lequel prend naissance un courant créant un flux déphasé : c’est la spire de Frager
Domaines d’application

Les applications des électro-aimants sont très nombreuses. Citons les plus importantes :

relais et contacteurs ;

embrayages et freins ;

électro-aimants de levage ;

électrovannes et servo-valves.


Couplage des circuits :

Rappels sur les inductances:

Le flux embrassé par une spire est noté s’écrit : µ § et par la loi de Faraday la tension sur les spires constituants l’enroulement µ § et comme la loi d’Hopkinson nous donne µ § si on pose µ § alors : µ §. Et comme µ § alors µ §

µ §
Inductance propre ou self inductance :µ § avec µ § : tous les flux qui traversent la bobine a

Inductance principale :µ § avec µ § : tous les flux utiles qui traversent des bobines

Inductance de fuite : µ § avec µ § : tous les flux qui ne traversent aucune partie utile

Inductances mutuelles:

Si la bobine 1 est parcourue par µ § un flux µ § de même forme est produit par les spires de ce bobinage, flux dont une fraction coupe les spires du bobinage secondaire.

Si M12 est le coefficient d'induction mutuelle entre les deux bobinages, il apparait aux bornes du secondaire une fém induite µ § soit, en utilisant la notation complexe, µ §

Inductance mutuelle : µ § et µ §

Rq : Si le secondaire est un circuit fermé, la fém e2 va engendrer un courant i2 lequel produit à son tour un flux dont une fraction induit dans l'enroulement primaire une fém e2 telle que µ §.

Sans fuites de flux:

Entre deux bobines parfaitement couplées : µ §

Alors

µ §µ §µ §

µ §

Avec fuites de flux: coefficients de couplage

Les fuites entre les deux bobines font apparaître µ §

Donc µ § et comme µ §

Alors µ § et comme µ §

La méthode de Boucherot : décompose les inductances

Alors µ § et de même µ § où apparaissent les inductances primaires : comme µ § alors µ § et de même µ §

donc µ § et en se servant des inductances primaires µ §

Et si l'on ramène toutes les fuites au primaire en supposant µ §, on obtient µ §.

On chiffre le couplage plus ou moins serré des bobinages par deux coefficients :

Coefficient de couplage : µ § et µ § permet de voir le niveau de couplage. Il dépend surtout de la position géométrique des circuits, d’autant plus proche de 1 que les circuits sont couplés

Coefficient de dispersion de Blondel : On caractérise parfois le couplage par le coefficient de dispersion de Blondel qui permet de chiffrer les fuites : µ §

Sans fuite : µ §

Avec fuites : µ §

Coefficient d’Hopkinson : rapport du flux total sur le flux utile µ §

Comme on a toujours µ § alors l‘inductance mutuelle devient µ §

Remarque pratique

Suivant le cas on mesure µ §

µ §

Equations fondamentales

µ §

µ §

On souhaite se ramener à un modèle au primaire : µ §

ƒñ donne µ §

dans ƒò donne : µ §

Soit µ §

On tire de cette équation les valeurs des trois schémas les plus courants.




Modèle aux fuites localisées au primaire
Lors d’un essai à vide on mesure

µ § LV=L1=L+ƒÜf „± L=L1-ƒÜf „± µ §

Lors d’un essai en court circuit on mesure

µ §
Equation de la maille

µ §

Que l’on identifie avec ƒó .

„± µ § et µ §

Modèle aux fuites localisées au secondaire

µ §

µ §
Lors d’un essai à vide on mesure

µ §

Lors d’un essai en court circuit on mesure

µ §
Equation de la maille

µ §

µ §

Que l’on identifie avec ƒó .

µ § donc µ §

„± µ § alors µ §
doncµ §
Modèle aux inductances de fuite réparties

µ §
Lors d’un essai à vide on mesure

µ §

Lors d’un essai en court circuit on mesure

µ §
Equation de la maille

µ §µ §

µ §

Appelons E la fém du primaire, Zp et Zs les impédances du primaire et du secondaire (non couplées). On peut alors écrire (loi de Kirchhoff)

µ §

On en déduit immédiatement Is = f(Ip) et en reportant dans l'expression de E on obtient µ §

La présence du secondaire couplé au circuit primaire se traduit donc par une modification de l'impédance de celui-ci et le schéma équivalent du primaire devient :

tandis que la relation IS=f(Ip) conduit pour le secondaire au schéma ci-contre


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