X suit une loi Binomiale B(12 000; 0,3)








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Mathématiques

DECF




Loi Binomiale

Correction

Exercice 1.

X suit une loi Binomiale B(12 000 ; 0,3).

  1. Ecrire P(X = 514) avec des factorielles et des puissances.

P(X = 514) = C 0,3514 0,711 486 =  0,3514 0,711 486

  1. Pouvez-vous calculer le résultat ? Impossible

Exercice 2.

X suit une loi Binomiale B(n ;p).

  1. On donne E(X) = 1,5 et V(X) = 585/400. Calculer si possible n et p puis P(X > 1).

n = 60 ; p = 0,025 et P(X>1) = 1 – P(X=0) – P(X = 1) » 0,443

  1. On donne E(X) = 15 et V(X) = 585/400. Calculer si possible n et p puis P(X > 1).

On trouve n = » 16,62 ce qui est impossible car n doit être entier (p = 0,9025)

Exercice 3.

X suit une loi Binomiale B(n ;p).

  1. Pour tout entier naturel k de [0 ;1], calculer P(X=k) avec

    1. n = 3 et p = 0,251

k

0

1

2

3

P(X = k)

0,42

0,42

0,14

0,02

E(X) = 0,753 et  =

    1. n = 5 et p = 1/3

k

0

1

2

3

4

5

P(X = k)

32/243

80/243

80/243

40/243

10/243

1/243

E(X) = 5/3 et  = 

Exercice 4

L'univers  est l'ensemble des résultats possibles après le lancer des deux dés.
Ici,    correspond au produit cartésien {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}x{1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6}.Son cardinal est Card() = 6² = 36.Comme on suppose qu'il y a équiprobabilité des résultats des lancers, on a alors:

 Pour tout événement A de , P(A) =

Card(A)
 Car()

a:
La variable aléatoire X peut prendre les valeurs -10 , -5 , +15.
L'événement "X = -10" est l'événement "obtenir le même numéro".
C'est donc l'événement A = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) }.
La probabilité de "X = -10" est donc : P( X = - 10 ) = 6 / 36 = 1 / 6
De même, l'événement "X = -5" est l'événement "obtenir 2 numéros de parités différentes".
C'est donc l'ensemble des couples (a , b) tels que a soit dans {1,3,5} et b soit dans {2,4,6}  ou bien a soit dans {2,4,6} et b soit dans {1,3,5}.
La cardinal de cet événement est donc : 3x3 + 3x3 = 18. D'où :               P( X = - 5) = 18 /36 = 1/2.

Comme S P(X = k) = 1 , on en déduit que P(X = 15) = 1 - P(X=-10) - P(X=-5).
D'où :             P(X = 15) = 1 - 1/6 - 1/2 = 1/3 On résume cela sous la forme d'un tableau :
 

X = k

-10

- 5

 15

P(X = k)

1

6




1

2




1

3







L'espérance de X est alors : E[X] =  P(X=k).k = (1/6)(-10) + (1/2)(-5) + (1/3)(15) donc E(X) = 5/6




b: La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur IR par :
           Pour tout x réel,  F(x) = P( X < x ).
    D'après le tableau de la loi de probabilité de X, on en déduit que :
        Si x < -10 alors F(x) = 0.
        Si -10 < x < -5 alors F(x) = 1/6
        Si -5 < x < 15  alors F(x) = 1/6 + 1/2 = 2/3 .
        Si x > 15 alors F(x) = 1/6 + 1/2 + 1/3 = 1 .
    D'où la courbe de la fonction de répartition de X.




c: Si le joueur effectue 10 parties de suite don't les résultats sont indépendants les uns des autres, comme pour chaque partie, la probabilité d'obtenir 15 points est constante
et égale à 1/3 , on peut dire que la variable aléatoire Y égale au nombre de fois que le joueur gagne 15 points en 10 parties suit un loi binomiale de paramètres n = 10 et
 p = 1/3.   
                            Y suit donc la loi B(n = 10 , p = 1/3)
On peut donc dire que pour entier k, on a :
                            
d: La probabilité que le joueur gagne au moins une fois 15 points est :
      P( Y > 1 ) = 1 - P(Y = 0 ) = 1 - (2/3)10  

P( Y > 1 ) = 1 - P(Y = 0 ) = 1 - (2/3)10 =

58025

59049




e: Le nombre de fois que le joueur peut espérer gagner 15 points en 10 parties est l'espérance de la variable aléatoire Y.
On sait que pour une variable aléatoire X de paramètre (n , p) , l'espérance de X est :
                                              E[X] = n.p
Comme Y a pour paramètre n = 10  et  p = 1/3 , on en déduit que l'espérance de Y est :
                                              E[Y] = 10 / 3.
f: Si le joueur joue n parties de suite alors la variable aléatoire Z égale au nombre de fois où il gagne 15 points suit une loi binomiale de paramètre (n , p =1/3 ).
La probabilité qu'il gagne au moins une fois 15 points durant ces n parties est alors:
                                            P( Z > 1 ) =1 - P( Z = 0)
Comme P( Z = 0) = (2/3)n  , on a alors  P( Z > 1) = 1 - (2/3)n

g: On veut alors que P( Z > 1 ) > 0,9999.   Ou encore que  :  1 - (2/3)n  > 0,9999.
ou encore que  (2/3)n < 0,0001. En utilisant la fonction logarithme népérien, on peut alors ecrire que :
 

Le joueur a donc une probabilité de gagner au moins une fois 15 points supérieure à
0,9999 s'il joue au moins 23 parties de suite.

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