I. Electromagnétisme en régime stationnaire








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I.Electromagnétisme en régime stationnaire.


Les notions d’électrostatique et de magnétostatique dans le vide ont été abordées précédemment. Se reporter à ces cours pour un contenu exhaustif, ne sont présentées ici que les notions utiles pour aborder le cours de licence.

I.1Rappels d’Electrostatique.

I.1.a.Loi de Coulomb.


On se place dans un référentiel où l’on est en présence d’un ensemble de charges immobiles.


Figure 1

La loi de Coulomb, d’origine expérimentale, permet de rendre compte des interactions entre deux charges q1 et q2. Ces charges situées en M1 et M2 sont des nombres entiers de charges élémentaires (qi = zi e, où e=1,602 10-19 en [C] ou [A.s] suivante le système d’unités MKSA).
Dans le vide de permittivité diélectrique 0 = 1/(36 109) ~ 8,8542 10-12 en [F/m] soit 0C = 1/(120), la force d’interaction est :

en [N] avec le vecteur directionnel de norme 1.

Équation I 1

Suivant le principe d’action-réaction, nous avons de même : . La force est répulsive si et attractive si .
On écrit alors qu’une charge q au repos en un point M de l’espace subit une force qui peut se mettre sous la forme :



Équation I 2
Cette force définit le champ électrostatique créé en M par la distribution de charges existant autour de P et occupant le volume . Cette charge peut s’obtenir par intégration d’une densité de charge présente en P sur l’élément de volume . Cette densité se note .



Figure 2
Il est aisé de montrer en utilisant le principe de superposition des champs électrostatiques que, dans ces conditions, le champ électrique total en M est donné par intégration :



Équation I 3

I.1.b.Circulation du champ électrostatique.


La circulation du champ le long du déplacement élémentaire porté par la tangente en tout point M de la courbe est le scalaire : . La circulation d’une force est égale à son travail. Ici nous considérons la circulation du champ électrostatique créé par la charge q placée en P qui définit aussi l’origine du repère. On note ainsi , où est le vecteur unitaire et on obtient pour le produit scalaire : .


M2


Figure 3
La circulation le long de l’arc de la courbe délimité par le point M1 et le point M2 vaut :


P
dérive d’un potentiel scalaire.
uisque la circulation du champ ne dépend que des coordonnées de M1 et M2 et non du chemin pris (ici ), on dit que est un champ à circulation conservative. On associe alors un potentiel scalaire dit électrostatique à par la relation :



Équation I 4

ou par la relation équivalente :



Équation I 5

O
Circulation conservative de sur contour fermé. Forme intégrale.
n identifie dans l’Équation I -3 les valeurs du potentiel en M1 et M2. Retenons : . Bien entendu sur un contour (i.e. une courbe fermée : M2 confondu avec M1) on obtient :



Équation I 6
On peut montrer que le champ est un vecteur normal aux surfaces équipotentielles et que le potentiel scalaire V décroît le long d’une ligne de champ parcourue dans le sens du vecteur . Pour cette raison, les lignes du champ ne peuvent pas être des courbes fermées.

Circulation conservative de . Forme locale.
Considérons maintenant une surface S quelconque s’appuyant sur le contour et l’élément de surface normal en tout point à S et dont le sens se déduit de l’orientation du contour conformément à la règle du tire bouchon. La formule de Stokes : et l’Équation I -6 conduisent naturellement à la relation :



Équation I 7

I.1.c.Flux du champ électrostatique.


Une autre relation fondamentale s’obtient en estimant le flux du champ créé par une charge en P à travers l’élément de surface  : . Le théorème de Gauss en forme intégrale montre que ce flux est nul au travers d’une surface fermée S contenant aucune charge et qu’il vaut le quotient par 0 de la somme des charges Qint situées à l’intérieur de la surface. On le note :


Théorème de Gauss. Forme intégrale.


Équation I 8
En rappelant la formule d’Ostrogradski : et en introduisant la densité volumique de charge en M : liée à la charge totale par l’intégrale volumique , on montre que localement le champ électrique vérifie la relation :


Equation de Maxwell-Gauss (MG). Forme locale.


Équation I 9
Pour la distribution de charge précédente le potentiel électrostatique peut se mettre sous la forme :



Équation I 10

Remarquons que le potentiel obtenu par intégration est toujours définit à une constante près. Il est nécessairement continu, sinon à la discontinuité le champ électrique serait infini ce qui n’est pas envisageable.
Des Équation I -9 et Équation I -4 on déduit l’équation de Poisson :


Equation de Poisson. Forme locale.


Équation I 11

En un point de l’espace M où il n’y a pas de charges, celle ci devient l’équation de Laplace :



Équation I 12

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