Expérience aléatoire








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titreExpérience aléatoire
date de publication16.07.2017
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Chapitre 2 : Les Probabilités
Quelques définitions :

  1. Expérience aléatoire



On appelle" expérience aléatoire", une expérience dont les conditions de déroulement sont parfaitement définies, mais dont le résultat ne peut être prévu avec certitude à l'avance.
Exemple 1 :

On lance un dé, on note le nombre de points apparaissant sur la face supérieure.

On répète cette expérience deux fois.
Exemple 2 :

On tire une carte d'un jeu de 32 cartes et on note la couleur obtenue.

On répète cette expérience deux fois.
Exemple 3 :

On dispose d'une urne dans laquelle se trouvent 6 boules noires et 4 boules blanches.

On tire (à l'aveugle) une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne.

Cette expérience est répétée trois fois de suite.


  1. Univers


On appelle "univers" associé à une expérience aléatoire, l'ensemble des éventualités possibles.

Cet ensemble est noté

? Exercice n° 1 :

Trouver les univers associés aux expériences 1, 2 et 3.


  1. Événement


On appelle événement toute partie de l'univers
? Exercice n° 2 :

  1. Pour l'exemple 2 voici deux autres événements

• Il apparaît deux cartes rouges

• Il apparaît au moins une carte noire

  1. Pour l'exemple 3 voici une éventualité

• E = { (R, R, N ) }
D. Variable aléatoire
Variable aléatoire discrète
On appelle "variable aléatoire discrète", une application qui à chaque événement A fait correspondre un nombre réel noté P(A).

Cette application doit vérifier les propriétés suivantes:

()



• Deux événements A et B de ? sont équiprobables si P(A)=P(B)

Exemple :

On lance un dé (non pipé). L’univers est {1, 2, 3, 4,5, 6}

Soit B l’événement : « Sur la face supérieure apparaît un nombre pair ».

Calculez la probabilité de réalisation de l'événement B.

P({1})=1/6 P({2})=1/6 P({3})=1/6 P({4})=1/6 P({5})=1/6 P({6})=1/6

P(B={2,4,6})=3/6=1/2

Remarque :

Connaissant les "images" des événements élémentaires on peut trouver les "images" de tous les événements.
Variable aléatoire continue
On appelle "variable aléatoire continue", une application qui à chaque événement A fait correspondre un nombre réel noté Prob(x [ a,b])

A représente un intervalle, une intersection ou une réunion d'intervalles

Cette application doit vérifier (pour tout A et B) les propriétés suivantes :
E. Fonction de répartition (ou de densité)
La fonction de répartition associée à une variable aléatoire est définie de la manière suivante :



Exemple :

On lance une pièce de monnaie ( supposée équilibrée) trois fois de suite.

Chaque fois que PILE apparaît, on perd 1 Franc

Chaque fois que FACE apparaît on gagne 1 Franc

On définit une variable aléatoire X qui associe à chaque élément de l'univers, le gain (ou la perte)

à l'issue des trois lancers.

{P,P,P}?-3

{F,P,P}?-1

{P,F,P}?-1

{P,P,F}?-1

{F,F,P}?1

{P,F,F}?1

{F,P,F}?1

{F,F,F}?3
Voici la loi de probabilité :



X

-3

-1

1

3

p

1/8

3/8

3/8

1/8


Voici la fonction de répartition

F(-3)=1/8 F(-1)=1/2 F(1)=7/8 F(3)=1

F. Lois de probabilités



Nous allons nous intéresser à des familles de fonctions réelles (f) très spéciales.


Une loi de probabilité est un MODELE représentant "au mieux", une distribution de fréquences d'une variable statistique ou aléatoire.

Une classification des lois

  1. Les lois "discrètes"

  2. Les lois "continues"


Comme l'étude de ces lois n'est pas simple, n'étudierons-nous que quelques-unes d'entre elles.
• Pour chacune d'elles il faut connaître :

  1. L'espérance mathématique E(X) (ou moyenne )et la variance Var(X) (notée )

  2. La forme de la fonction de répartition

  3. Les domaines et conditions d'utilisation


Dans le cas discret il faut pouvoir calculer les nombres :

Prob(X=k)

Dans les cas continus les nombres :



La fonction de densité sera notée f(x), la fonction de répartition F(x)

Exemples de lois "discrètes"


  1. Loi "Uniforme discrète"

  2. Loi de "Bernoulli"

  3. Loi "Binomiale"

  4. Loi de "Poisson"

  5. Loi "Hypergéométrique"

  6. Loi "Binomiale négative"

  7. Loi "Géométrique"

  8. Loi "Multinomiale"


I. Loi UNIFORME
X est une variable aléatoire qui prend les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités pi=1/n
II. Loi de BERNOULLI
Dans un tel schéma, les épreuves satisfont aux conditions suivantes :

  • l'issue de chaque épreuve est l'une ou l'autre de deux éventualités complémentaires

  • la probabilité de succès (p) est la même pour chaque épreuve

  • l'issue d'une épreuve est indépendante du résultat de chacune des épreuves précédentes


III. Loi BINOMIALE
Le nombre de succès au cours d'une série de n épreuves répondant à un schéma de Bernoulli est une variable aléatoire discrète, appelée loi Binomiale
Conditions :

Échantillon de taille n , 2 issues à chaque tirage de probabilité p et 1-p, Indépendance des tirages.



Remarques :


Une relation pratique :



Exercice

La probabilité pour qu’un tireur atteigne une cible est 1/3.

• Sachant qu’il tire 5 fois, quelle est la probabilité pour qu’il atteigne la cible au moins deux fois ?

• Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d’atteindre au moins une fois la cible soit plus grande que 0,9 ?

Réponses : - P(X≥2)= 131/243 - n=6

IV. Loi de POISSON
La Loi de densité ou de répartition est donnée par la fonction :



La loi de POISSON est une bonne approximation de la loi binomiale lorsque p est « très petit » (de l’ordre de 1/100 par exemple)ou p « voisin de 1 » et n « grand » .((n≥20 et p<1/30)
P(X=k) donne la fréquence des valeurs égale à k pour une loi normale réduite.

m=np

n nombre d’épreuves

la moyenne est m, la variance est m.

• Si n « grand », et p non voisin de 0 ou 1 alors


Exemples de lois "continues"


  1. La loi "Normale"

  2. La loi du "Chi-deux"

  3. La loi de "Student"

  4. La loi de "Fisher"

  5. La loi de "Laplace"

  6. La loi "Beta"

  7. La Loi de "Cauchy"

  8. La loi "Exponentielle"

  9. La loi "Gamma"

  10. La loi "Lognormale"



I. Loi de LAPLACE-GAUSS
Loi normale de densité ou de répartition est donnée par la fonction :



f(z) donne l’effectif d’une variable quantitative continue qui suit la loi normale réduite N(0,1)
F(z) donne la fréquence des valeurs inférieures ou égales à z pour une loi normale réduite.





Une série :() se transforme en une série : ()

Ce qui permettra d’utiliser les tables de la loi normale réduite
Théorème :

Si

la série a pour moyenne m et pour écart-type alors on démontre

que

la série a pour moyenne 0 et pour écart-type 1
Théorème :

La loi de LAPLACE-GAUSS est une approximation satisfaisante de la loi BINOMIALE lorsque les conditions suivantes sont satisfaites: n≥30 et 0,2

Exercice n°1 :
Une population est composée de 45 % d'hommes et de 55 % de femmes.

On suppose que 4 % des hommes et 0,5 % des femmes sont daltoniens.

On choisit une personne au hasard.

a. Quelle est la probabilité qu'elle soit daltonienne ?

b. Quelle est la probabilité qu'elle soit un homme sachant qu'elle est daltonienne ?

Appelons D l'événement : la personne est daltonienne, et H l'événement la personne est un homme.


Exercice n° 2 :
On suppose que 2 % des êtres humains en moyenne sont gauchers. Calculez la probabilité pour que parmi 100 personnes, 3 ou plus soient des gauchers.

Réponses :

p=2/100=0,02 n=100 d’où m=2

P(X<3)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2) =0,1353+0,2707+0,2027=0,6767

d’où P(X≥3)=1-0,6767=0,3233 =32,3 %
Exercice n° 3 :
On suppose que dans un livre de 200 pages, 220 erreurs d’impression sont distribuées au hasard.

Calculez la probabilité pour qu’une page donnée contienne :

• 0 erreur

• 1 erreur

• 2 erreurs

• 2 erreurs ou plus

Réponses :

La difficulté de l’exercice provient de la difficulté de définir, n, m et p

m=220/200=1,1



**Exercice n°4 :
Dans une chaîne de fabrication, 3 % des pièces sont défectueuses.

On prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres.

On répète 120 fois cette expérience.

Réponses :

--> p=0,03 et n=120 d’où m=np=3,6


**Exercice n°5 :
Un représentant de commerce doit visiter 40 clients distincts.

Chacune de ces visites est indépendante des autres. Quelle que soit la visite considérée, la probabilité de l’événement : : « le représentant rencontre le client » est égale à 0,6.

Calculez les probabilités suivantes :

A: aucun client n’est rencontré

B: un client au moins est rencontré

C: tous les clients sont rencontrés

Réponses :

Comme n « grand » , p « non voisin de 0 ou 1 », on peut utiliser une approximation par la loi de Laplace-Gauss. m=0,6*40=24, p=0,6 q=0,4 l’écart-type est égal à 3,1

• Prob(A) voisin de 0 z=-7,75

• Prob(B)voisin de 1

• Prob(C)voisin de 0 z=5,16
**Exercice n°6 :

**Exercice n°7 :
Considérons les naissances chez un couple. Chaque naissance est une épreuve ! L'issue est soit un Garçon 5G), soit une Fille (F) Nous supposerons la probabilité p de naissance d'un garçon constante, le sexe d'un nouveau-né est indépendant du sexe des aînés. Nous sommes en présence d'un schéma de Bernoulli qui se répète. Le nombre de garçons parmi les enfants d'un couple suit une loi Binomiale.

? Pour un couple avec trois enfants calculez les probabilités d'avoir, 0, 1, 2 ou 3 garçons.

**Exercice n°8 :
Une expérience réalisée en vue d'étudier la résistance à la température de pucerons a consisté à faire subir à un grand nombre d'insectes un choc thermique 10 jours après leur naissance. On a mesuré leur durée de survie.

t :Temps en jours

après le choc thermique

P: Pourcentage d'individus vivants

au tème jour




0

1,000

1,1

0,805

2,0

0,675

3,2

0,530

4,1

0,445

5,3

0,350

7,2

0,240

10,3

0,130

15,1

0,050

20,1

0,020

La représentation graphique de p en fonction de t nous conduit à proposer une fonction exponentielle



Probabilités Jean-Louis Sigrist

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